Questão 7. Encontre o Wronskiano da equação de Bessel sem resolvê-la:
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para encontrar o Wronskiano da equação de Bessel sem resolver a equação. Estamos lidando com equações diferenciais, mais especificamente com a equação de Bessel:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calculá-lo para equações diferenciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções
e
de uma equação diferencial, o Wronskiano é dado por:
Ele nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, para uma equação diferencial de segunda ordem da forma geral:
o Wronskiano pode ser encontrado usando a fórmula:
onde
é uma constante.
Passo 4
Aplicando isso à nossa equação de Bessel, identificamos os coeficientes:
Então, a integral fica:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula do Wronskiano:
Isso mostra que o Wronskiano é inversamente proporcional a
.
Resposta
O Wronskiano da equação de Bessel é dado por:
onde
é uma constante.