Questão 7. Encontre o Wronskiano da equação de Bessel sem resolvê-la:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-v^2) y=0, v- constante

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para encontrar o Wronskiano da equação de Bessel sem resolver a equação. Estamos lidando com equações diferenciais, mais especificamente com a equação de Bessel:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - v^2) y = 0, v constante
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calculá-lo para equações diferenciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções y1 e y2 de uma equação diferencial, o Wronskiano é dado por:
W(y1, y2) = y1 y'2 - y2 y'1
Ele nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, para uma equação diferencial de segunda ordem da forma geral:
a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = 0,
o Wronskiano pode ser encontrado usando a fórmula:
W(x) = C exp(-integral b(x)a(x) dx),
onde C é uma constante.

Passo 4

Aplicando isso à nossa equação de Bessel, identificamos os coeficientes:
a(x) = x^2, b(x) = x
Então, a integral fica:
integral b(x)a(x) dx = integral xx^2 dx = integral 1x dx = ln|x|

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula do Wronskiano:
W(x) = C exp(-ln|x|) = C cdot x^-1 = Cx
Isso mostra que o Wronskiano é inversamente proporcional a x .

Resposta

O Wronskiano da equação de Bessel é dado por:
W(x) = Cx,
onde C é uma constante.

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