Encontre o valor de k para que a função f(x)=x^2+6 x+11+k tenha raiz dupla. Se possível, determine o valor de tal k.

Passo 1

Tranquilo, o exercício pede pra achar o valor de k na função
f(x)=x^2+6x+11+k
de modo que ela tenha raiz dupla. O conteúdo que vamos usar é sobre funções quadráticas e o discriminante, que é
De<a = b^2-4ac
Sabendo que raiz dupla rola exatamente quando De<a=0, vamos precisar identificar a, b e c e aplicar isso.

Passo 2

Lembra que em f(x)=ax^2+bx+c a gente tem:
  • a é o coeficiente de x^2,
  • b é o coeficiente de x,
  • c é o termo constante.
Aqui,
a=1, b=6, c=11+k
Aí o discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = 6^2 - 4cdot1cdot(11+k) = 36 - 44 - 4k = -8 - 4k
Como queremos raiz dupla, impomos
De<a = 0 ;Longrightarrow; -8 - 4k = 0 ;Longrightarrow; -4k = 8 ;Longrightarrow; k = -2

Passo 3

Pra confirmar que isso realmente gera raiz dupla, a fórmula da raíz única (repetida) é
x = -b2a = -62 = -3
Substituindo em f(x) com k=-2:
f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 11 - 2 = 9 - 18 + 11 - 2 = 0
Ou seja, a parábola toca o eixo x somente nesse ponto, comprovando a raiz dupla.

Resposta

k = -2

Exercícios relacionados