Encontre o valor de a in R para que tenhamos integralC F d r=0 quando F(x, y)= (x+a y, y+2 x) e C é a porção da reta y=-2 x+1 com 0 <= x <= 1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar ainR tal que
integralCFcdot dr = 0
onde F(x,y) = (P,Q) com P(x,y)=x+ay e Q(x,y)=y+2x, e C é o segmento da reta y=-2x+1 para 0<= x<=12.
Conteúdo: cálculo de integral de linha de campo vetorial via parametrização.

Passo 2

Parametrizamos C escolhendo x=t, logo
y=-2t+1, 0<= t<=12
Assim
r(t)=(t,,-2t+1), dr=(1,,-2),dt

Passo 3

Substituindo na força, temos
Fl(r(t)r) =l(t + a(-2t+1),;(-2t+1)+2tr) =l((1-2a)t + a,;1r)
O produto escalar com dr é
Fcdot dr = l((1-2a)t + ar)cdot1 + 1cdot(-2) = (1-2a)t + a - 2

Passo 4

Agora integramos de t=0 até t=tfrac12 e impomos zero:
integral0^1/2l[(1-2a)t + a - 2r]dt = 0
Calculando as integrais separadamente,
integral0^1/2t,dt = 18, integral0^1/2dt = 12,
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(1-2a)18 + (a-2)12 = 0
Multiplicando por 8:
1 - 2a + 4a - 8 = 0 Longrightarrow 2a - 7 = 0 Longrightarrow a = 72

Resposta

a = tfrac72

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