Esboce a região R delimitada pelas curvas e em seguida calcule o volume dos sólidos de revolução obtidos quando giramos a região R entre y=x^2, x=1, x=2 e a parte da reta y=0 com x >= 1 em torno da reta x=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=1 a região R que, no plano xy, é limitada por
  1. a parábola y = x^2,
  2. as retas verticais x=1 e x=2,
  3. e o eixo y=0 para x>=1.
    O conteúdo aqui é “sólidos de revolução” e vamos usar o método das cascas cilíndricas (ou “shells”) para integrar em x.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, para girar em torno de uma reta vertical x=a usamos a fórmula
V = 2pi integralxmin^xmax (raio)(a<ura) ,dx
Aqui xmin=1 e xmax=2.

Passo 3

Para cada xin[1,2]:
  • O raio da casca é a distância até x=1, ou seja ,x-1.
  • A altura da casca é o valor de y no topo da região menos o valor no fundo, isto é x^2-0 = x^2.

Passo 4

Montamos a integral das cascas:
V = 2pi integral1^2 (x-1),x^2,dx = 2pi integral1^2 l(x^3-x^2r),dx
Agora buscamos a antiderivada:
integral l(x^3-x^2r),dx = x^44 - x^33

Passo 5

Avaliando de 1 a 2:
l[tfracx^44-tfracx^33r]1^2 = l(4 - tfrac83r) - l(tfrac14-tfrac13r) = tfrac12-83 - l(tfrac3-412r) = tfrac43 + tfrac112 = tfrac1712
Multiplicando por 2pi temos
V = 2pi cdot tfrac1712 = tfrac17pi6

Resposta

V = tfrac17pi6

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