Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y)=yx+y nesse ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x,y)=yx+y
no ponto (1,2).
Para isso, lembramos que o plano tangente em (x0,y0) é dado por
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0),
ou seja, precisamos de f(1,2) e das derivadas parciais fx e fy avaliadas em (1,2).

Passo 2

Calcular o valor de f em (1,2):
f(1,2) = 21 + 2 = 23

Passo 3

Determinar as derivadas parciais de f:
Como f(x,y)=y,(x+y)^-1, pelo quociente (ou pela regra da cadeia) temos
fx(x,y) = -y(x+y)^2, fy(x,y) = x(x+y)^2
Avaliando em (1,2):
fx(1,2) = -2(1+2)^2 = -29, fy(1,2) = 1(1+2)^2 = 19

Passo 4

Escrever a fórmula do plano tangente usando os valores encontrados:
z - 23 = l(-29r)(x - 1) + l(19r)(y - 2)

Passo 5

Podemos deixar a equação numa forma mais “limpa”. Por exemplo, multiplicando tudo por 9 e reorganizando:
9l(z - tfrac23r) = -2,(x - 1) + 1,(y - 2) Longrightarrow 9z - 6 = -2x + 2 + y - 2
9z - 6 = -2x + y Longrightarrow 2x - y + 9z - 6 = 0

Resposta

Uma forma conveniente do plano tangente é
boxedz - 23 = -29(x - 1) + 19(y - 2)
Ou equivalentemente
boxed2x - y + 9z - 6 = 0

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