Encontre o valor da integral
tomada no sentido anti-horário em torno do círculo (a)
; (b)
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
em duas situações de contorno diferentes, usando técnicas de Cálculo Complexo (em particular o Teorema dos Resíduos).
Passo 2
O Teorema dos Resíduos diz que, se
é analítica dentro e sobre uma curva simples fechada
, salvo em polos isolados
no interior, então
Passo 3
Primeiro identificamos as singularidades de
: pólos em
(ordem 3) e em
(ordem 1).
Passo 4
Caso (a): o contorno é
. Dentro dele entra apenas
, pois
.
Precisamos então encontrar para um polo de ordem 3. A fórmula geral é
Precisamos então encontrar
Passo 5
Calculando as derivadas:
Passo 6
Avalia em
:
. Multiplicando por
dá
.
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Passo 7
Caso (b): o contorno é
. Dentro dele entram ambos
(pois
) e
(pois
).
Já temos . Falta
, que é pólo simples, dado por
Já temos
Passo 8
Somando os resíduos:
. Logo
Resposta
Para (a)
e para (b)
.