Encontre o valor da integral
integralC d zz^3(z+4),
tomada no sentido anti-horário em torno do círculo (a) |z|<2; (b) |z+2|<3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno integralC dzz^3(z+4) em duas situações de contorno diferentes, usando técnicas de Cálculo Complexo (em particular o Teorema dos Resíduos).

Passo 2

O Teorema dos Resíduos diz que, se f é analítica dentro e sobre uma curva simples fechada C, salvo em polos isolados zk no interior, então

Passo 3

Primeiro identificamos as singularidades de f(z)=1/[z^3(z+4)]: pólos em z=0 (ordem 3) e em z=-4 (ordem 1).

Passo 4

Caso (a): o contorno é |z|<2. Dentro dele entra apenas z=0, pois |-4|=4>2.
Precisamos então encontrar Resl(f,0r) para um polo de ordem 3. A fórmula geral é

Passo 5

Calculando as derivadas:

Passo 6

Avalia em z=0: 2/(4^3)=2/64=1/32. Multiplicando por 1/2 Res(f,0)=1/64.
Aplicando o Teorema dos Resíduos:

Passo 7

Caso (b): o contorno é |z+2|<3. Dentro dele entram ambos z=0 (pois |0+2|=2<3) e z=-4 (pois |-4+2|=2<3).
Já temos Res(f,0)=1/64. Falta Res(f,-4), que é pólo simples, dado por

Passo 8

Somando os resíduos: 1/64 + (-1/64)=0. Logo

Resposta

Para (a) dfracpi i32 e para (b) 0.

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