Encontre o valor do limite e justifique:
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}-x-12}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -3}\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-x-12}
que é um limite de função racional. Para resolver, vamos usar fatoração de quadráticos para identificar possíveis cancelamentos e então avaliar o limite.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^{2}+5x+6. Buscamos dois números que somem 5 e cuja soma de produto seja 6. Esses números são 2 e 3, logo
x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3).
De forma análoga, fatoramos o denominador x^{2}-x-12. Precisamos de dois números que somem -1 e cujo produto seja -12. Esses números são -4 e 3, então
x^{2}-x-12 = (x-4)(x+3).

Passo 3

A expressão original fica
\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-x-12} = \frac{(x+2)(x+3)}{(x-4)(x+3)}.
Observamos que o fator (x+3) aparece no numerador e no denominador e não é zero fora de x=-3. Como estamos calculando um limite, podemos simplificar para
\frac{x+2}{x-4},\quad x\neq -3.
Desta forma, removemos a descontinuidade em x=-3 e passamos a ter uma função contínua nessa vizinhança.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite pela função simplificada, que é contínua em x=-3:
\lim_{x\to -3}\frac{x+2}{x-4} = \frac{-3+2}{-3-4} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{7}

Exercícios relacionados