Questão 4: Escreva cada EDO seguinte como um sistema de EDO de primeira ordem e resolva estes sistemas, escrevendo a solução geral da EDO. Usar autovalores.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de segunda ordem
e pede para reescrevê-la como sistema de primeira ordem e resolver pelo método de autovalores. O conteúdo é sistemas lineares não homogêneos e uso de autovalores para resolver a parte homogênea, seguido de método dos coeficientes indeterminados para achar a parte particular.
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
para converter a EDO em sistema de primeira ordem.
Passo 3
Em notação vetorial temos
com
Passo 4
Primeiro resolvemos o sistema homogêneo
. O polinômio característico é
cujo conjunto de raízes (autovalores) é
e
.
Para resolvemos
e obtemos o autovetor
.
Para resolvemos
e obtemos
.
Logo a solução fundamental do homogêneo em forma vetorial é
Para
Para
Logo a solução fundamental do homogêneo em forma vetorial é
Passo 5
Agora achamos uma solução particular da EDO original. Como o termo forçante é
e
é raiz simples da homogênea, tentamos
Calculando
e
e substituindo em
acha-se
. Portanto
Passo 6
A solução geral do sistema e, por consequência, da EDO é a soma da parte homogênea (que deu
) com a parte particular
.