Questão 4: Escreva cada EDO seguinte como um sistema de EDO de primeira ordem e resolva estes sistemas, escrevendo a solução geral da EDO. Usar autovalores.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
y''+3y'+2y=e^{-x}
e pede para reescrevê-la como sistema de primeira ordem e resolver pelo método de autovalores. O conteúdo é sistemas lineares não homogêneos e uso de autovalores para resolver a parte homogênea, seguido de método dos coeficientes indeterminados para achar a parte particular.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
y_1 = y,\quad y_2 = y'
para converter a EDO em sistema de primeira ordem.

Passo 3

Em notação vetorial temos
\mathbf{y} = \begin{pmatrix}y_1\y_2\end{pmatrix},\quad \mathbf{y}' = A\,\mathbf{y} + \mathbf{g}(x),
com
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -2 & -3\end{pmatrix}, \quad \mathbf{g}(x) = \begin{pmatrix}0\e^{-x}\end{pmatrix}.

Passo 4

Primeiro resolvemos o sistema homogêneo \mathbf{y}'=A\mathbf{y}. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\lambda^2+3\lambda+2=0
cujo conjunto de raízes (autovalores) é \lambda_1=-1 e \lambda_2=-2.
Para \lambda_1=-1 resolvemos (A+I)v=0 e obtemos o autovetor v^{(1)}=[-1;1].
Para \lambda_2=-2 resolvemos (A+2I)v=0 e obtemos v^{(2)}=[1;-2].
Logo a solução fundamental do homogêneo em forma vetorial é
\mathbf{y}_h = C_1 e^{-x}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 e^{-2x}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 5

Agora achamos uma solução particular da EDO original. Como o termo forçante é e^{-x} e \lambda=-1 é raiz simples da homogênea, tentamos
y_p = A\,x\,e^{-x}.
Calculando y_p' e y_p'' e substituindo em y''+3y'+2y=e^{-x} acha-se A=1. Portanto
y_p(x)=x\,e^{-x}.

Passo 6

A solução geral do sistema e, por consequência, da EDO é a soma da parte homogênea (que deu y_h) com a parte particular y_p.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}+x\,e^{-x}.

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