1. Encontre (a) o valor máximo da derivada direcional e (b) o vetor unitário \overrightarrow{\mathrm{u}} da direção para a qual esse valor máximo é obtido para f(x, y)=2 x^{2} y+x e^{y^{2}}, no ponto (1,0). R: \sqrt{5} e \frac{\vec{i}+2 \vec{j}}{\sqrt{5}}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função
f(x,y)=2x^{2}y + x e^{y^{2}}
e queremos em (1,0):
(a) o valor máximo da derivada direcional e
(b) o vetor unitário que dá essa direção.
O conteúdo envolve derivada direcional e gradiente: a derivada direcional em direção \vec{u} é \nabla f\cdot\vec{u} e seu valor máximo é \|\nabla f\|, atingido quando \vec{u} aponta na direção do gradiente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente.
\frac{\partial f}{\partial x} = 4xy + e^{y^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^{2} + 2xy\,e^{y^{2}}.

Passo 3

Avaliamos essas derivadas em (1,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = 4\cdot1\cdot0 + e^{0} = 1,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) = 2\cdot1^{2} + 2\cdot1\cdot0\cdot e^{0} = 2.
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\nabla f(1,0) = (1,2).

Passo 4

O valor máximo da derivada direcional é a norma do gradiente em (1,0):
\|\nabla f(1,0)\| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}.

Passo 5

O vetor unitário na direção do gradiente é
\vec{u} = \frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|} = \frac{(1,2)}{\sqrt{5}}.

Resposta

(a) \sqrt{5}
(b) \dfrac{\vec{i} + 2\,\vec{j}}{\sqrt{5}}

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