A temperatura T em graus C em um ponto (
) de uma placa de metal aquecida é dada por
, onde x e y são medidos em centímetros:
a) Que direção se deve tomar a partir do ponto (
) a fim de que T aumente mais rapidamente?
b) Qual a velocidade de aumento de T quando alguém se move a partir do ponto
, na direção encontrada no item (a)?
a) Que direção se deve tomar a partir do ponto (
b) Qual a velocidade de aumento de T quando alguém se move a partir do ponto
Passo 1
O enunciado dá a temperatura como
e pede:
– (a) a direção em que cresce mais rápido a partir de
;
– (b) a velocidade de crescimento de em
nessa direção.
O conteúdo aqui é o gradiente e a derivada direcional máxima.
– (a) a direção em que
– (b) a velocidade de crescimento de
O conteúdo aqui é o gradiente e a derivada direcional máxima.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
, que aponta na direção de maior crescimento:
Logo,
Passo 3
Em
temos
Como direção de máximo crescimento basta tomar o vetor gradiente normalizado. Observando que esse vetor é paralelo a
, a unidade direcional é
Passo 4
A velocidade máxima de variação em
é o módulo do gradiente ali.
Primeiro, e
. Então
Primeiro,
Resposta
(a) A direção de maior aumento em
é dada pelo vetor unitário
(b) A velocidade de aumento em nessa direção é
(b) A velocidade de aumento em