A temperatura T em graus C em um ponto ( x, y ) de uma placa de metal aquecida é dada por T=\frac{300}{x^{2}+y^{2}+3}, onde x e y são medidos em centímetros:
a) Que direção se deve tomar a partir do ponto ( -A, 3 ) a fim de que T aumente mais rapidamente?
b) Qual a velocidade de aumento de T quando alguém se move a partir do ponto (-4,3), na direção encontrada no item (a)?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura como
T(x,y) = \frac{300}{x^2 + y^2 + 3}
e pede:
– (a) a direção em que T cresce mais rápido a partir de (-A,3);
– (b) a velocidade de crescimento de T em (-4,3) nessa direção.
O conteúdo aqui é o gradiente e a derivada direcional máxima.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T, que aponta na direção de maior crescimento:
\frac{\partial T}{\partial x} = -\frac{300\cdot 2x}{(x^2+y^2+3)^2} = -\frac{600x}{(x^2+y^2+3)^2}, \quad \frac{\partial T}{\partial y} = -\frac{600y}{(x^2+y^2+3)^2}.
Logo,
\nabla T(x,y) = \biggl(-\frac{600x}{(x^2+y^2+3)^2},\;-\frac{600y}{(x^2+y^2+3)^2}\biggr).

Passo 3

Em (-A,3) temos
\nabla T(-A,3) = \Bigl(\frac{600A}{(A^2+9+3)^2},\;-\frac{1800}{(A^2+9+3)^2}\Bigr).
Como direção de máximo crescimento basta tomar o vetor gradiente normalizado. Observando que esse vetor é paralelo a (A,-3), a unidade direcional é
u = \frac{1}{\sqrt{A^2+9}}\,(A,\,-3).

Passo 4

A velocidade máxima de variação em (-4,3) é o módulo do gradiente ali.
Primeiro, \sqrt{(-4)^2+3^2}=5 e (-4)^2+3^2+3=28. Então
|\nabla T(-4,3)| = \frac{600\cdot 5}{28^2} = \frac{3000}{784} = \frac{375}{98}.

Resposta

(a) A direção de maior aumento em (-A,3) é dada pelo vetor unitário
\displaystyle \bigl(\tfrac{A}{\sqrt{A^2+9}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{A^2+9}}\bigr).
(b) A velocidade de aumento em (-4,3) nessa direção é
\displaystyle \frac{375}{98}.

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