O enunciado pede para provar que a série alternante
1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots
converge e que seu valor é \ln2.
O conteúdo principal aqui é usar séries de potências, mais precisamente a expansão de \ln(1+x) obtida integrando a série geométrica. Também vamos precisar de resultados sobre região de convergência e do teorema de Abel para avaliar a soma na fronteira do disco de convergência.
Passo 2
Começamos com a série geométrica para \lvert x\rvert<1:
\frac{1}{1+x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n.
Integramos termo a termo de 0 a x. Como cada polinômio x^n é integrável e a soma converge uniformemente em qualquer [0,r] com r<1, temos
Esse é o caso clássico do teste de Leibniz (série alternante com termos monotônicos decrescentes a zero), que garante convergência.
Passo 5
Por continuidade de \ln(1+x) em x=1 e pelo teorema de Abel (que diz que a soma da série de potências em x=1 coincide com \lim_{x\to1^-}\ln(1+x)), concluímos