Exemplo 9.6 Prove
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln 2

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série alternante
1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots
converge e que seu valor é \ln2.
O conteúdo principal aqui é usar séries de potências, mais precisamente a expansão de \ln(1+x) obtida integrando a série geométrica. Também vamos precisar de resultados sobre região de convergência e do teorema de Abel para avaliar a soma na fronteira do disco de convergência.

Passo 2

Começamos com a série geométrica para \lvert x\rvert<1:
\frac{1}{1+x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n.
Integramos termo a termo de 0 a x. Como cada polinômio x^n é integrável e a soma converge uniformemente em qualquer [0,r] com r<1, temos
\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^n\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}.
O lado esquerdo é \ln(1+x). Reindexando n+1\mapsto k
\ln(1+x) =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}.

Passo 3

Verificamos a região de convergência dessa série de potências com o teste da razão:
\lim_{k\to\infty} \Bigl|\tfrac{(-1)^{k}x^{k+1}/(k+1)}{(-1)^{k-1}x^k/k}\Bigr| =\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k+1}\,\lvert x\rvert =\lvert x\rvert.
Logo ela converge para \lvert x\rvert<1 e diverge para \lvert x\rvert>1.

Passo 4

Para x=1 a série torna-se exatamente
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k} =1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots.
Esse é o caso clássico do teste de Leibniz (série alternante com termos monotônicos decrescentes a zero), que garante convergência.

Passo 5

Por continuidade de \ln(1+x) em x=1 e pelo teorema de Abel (que diz que a soma da série de potências em x=1 coincide com \lim_{x\to1^-}\ln(1+x)), concluímos
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k} =\lim_{x\to1^-}\ln(1+x) =\ln2.

Resposta

1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots = \ln2.

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