Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva.
y=e x^{-x^{2}}\, para \(0 \leq x \leq 1)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
y = e\,x^{-x^{2}},\quad 0 \le x \le 1.
Para isso vamos usar a fórmula do comprimento de curva em coordenadas cartesianas:
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada y'(x). Escrevendo y = e\cdot x^{-x^{2}}, aplicamos a regra da cadeia e do produto:
y' = e\,x^{-x^{2}}\;\frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}\ln x\bigr) = e\,x^{-x^{2}}\bigl(-2x\ln x - x\bigr).
Agrupando fatores, obtém-se
y' = -\,e\,x^{1 - x^{2}}\,(2\ln x + 1).

Passo 3

Substituindo y'(x) na fórmula de comprimento:
L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \Bigl(-e\,x^{1 - x^{2}}\,(2\ln x + 1)\Bigr)^{2}}\;dx.

Resposta

L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \Bigl(-e\,x^{1 - x^{2}}\,(2\ln x + 1)\Bigr)^{2}}\;dx.

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