Encontre o valor de
de modo que a equação diferencial dada seja exata.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre o valor de
de modo que a equação diferencial seja exata.” A equação dada é
As informações relevantes extraídas do enunciado são:
e
A incógnita a determinar é o número
que torna essa equação exata.
Passo 2
O que significa “equação exata”? Vou explicar passo a passo como testar isso. Para uma equação diferencial escrita como
dizemos que ela é exata em uma região se existir uma função escalar
tal que
Uma condição prática e necessária (e suficiente se
e
são suficientemente suaves) é
Aqui
significa derivar
em relação a
, tratando
como constante, e
significa derivar
em relação a
, tratando
como constante. Vamos aplicar essa condição para achar
.
Passo 3
Calcule
. Lembre que para derivar em relação a
mantemos
fixo. Escrevo
novamente:
Derivando termo a termo em relação a
:
-
. -
porque e são constantes no dériv. em . -
porque não depende de .
Portanto
Passo 4
Calcule
. Escrevo
:
Derivando termo a termo em relação a
:
-
porque é tratado como constante multiplicativa. -
.
Logo
Passo 5
Agora imponho a condição de exatidão
. Substituindo as expressões obtidas:
Simplifico subtraindo
de ambos os lados:
Para que essa igualdade valha para todos os pares
na região (ou seja, como identidade em
e
), os coeficientes multiplicando as mesmas potências de
e
devem ser iguais. Se
for zero a igualdade pode ocorrer independentemente de
, mas precisamos que a igualdade seja verdadeira também quando
. Assim podemos dividir por
(onde não é zero) e obter:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida: com
temos
que coincide com
calculado antes. Então com
a equação é exata em regiões onde as funções são diferenciáveis (aqui praticamente todo
).