Encontre o valor de m de modo que a equação diferencial dada seja exata.
\left(y^{3}+m x y^{4}-2 x\right) d x+\left(3 x y^{2}+20 x^{2} y^{3}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o valor de m de modo que a equação diferencial seja exata.” A equação dada é
\left(y^{3}+m x y^{4}-2 x\right) d x+\left(3 x y^{2}+20 x^{2} y^{3}\right) d y=0.
As informações relevantes extraídas do enunciado são:
M(x,y)=y^{3}+m x y^{4}-2 x
e
N(x,y)=3 x y^{2}+20 x^{2} y^{3}.
A incógnita a determinar é o número m que torna essa equação exata.

Passo 2

O que significa “equação exata”? Vou explicar passo a passo como testar isso. Para uma equação diferencial escrita como
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
dizemos que ela é exata em uma região se existir uma função escalar \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática e necessária (e suficiente se M e N são suficientemente suaves) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui \frac{\partial M}{\partial y} significa derivar M em relação a y, tratando x como constante, e \frac{\partial N}{\partial x} significa derivar N em relação a x, tratando y como constante. Vamos aplicar essa condição para achar m.

Passo 3

Calcule \frac{\partial M}{\partial y}. Lembre que para derivar em relação a y mantemos x fixo. Escrevo M novamente:
M(x,y)=y^{3}+m x y^{4}-2 x.
Derivando termo a termo em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{3})=3y^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(m x y^{4})=m x \cdot 4y^{3}=4m x y^{3} porque m e x são constantes no dériv. em y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2x)=0 porque não depende de y.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=3y^{2}+4m x y^{3}.

Passo 4

Calcule \frac{\partial N}{\partial x}. Escrevo N:
N(x,y)=3x y^{2}+20 x^{2} y^{3}.
Derivando termo a termo em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3x y^{2})=3 y^{2} porque y^{2} é tratado como constante multiplicativa.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(20 x^{2} y^{3})=20\cdot 2 x \cdot y^{3}=40 x y^{3}.
Logo
\frac{\partial N}{\partial x}=3y^{2}+40 x y^{3}.

Passo 5

Agora imponho a condição de exatidão \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}. Substituindo as expressões obtidas:
3y^{2}+4m x y^{3}=3y^{2}+40 x y^{3}.
Simplifico subtraindo 3y^{2} de ambos os lados:
4m x y^{3}=40 x y^{3}.
Para que essa igualdade valha para todos os pares (x,y) na região (ou seja, como identidade em x e y), os coeficientes multiplicando as mesmas potências de x e y devem ser iguais. Se x y^{3} for zero a igualdade pode ocorrer independentemente de m, mas precisamos que a igualdade seja verdadeira também quando x y^{3}\neq 0. Assim podemos dividir por x y^{3} (onde não é zero) e obter:
4m=40.
Portanto
m=10.

Passo 6

Verificação rápida: com m=10 temos
\frac{\partial M}{\partial y}=3y^{2}+4\cdot 10\, x y^{3}=3y^{2}+40 x y^{3},
que coincide com \dfrac{\partial N}{\partial x} calculado antes. Então com m=10 a equação é exata em regiões onde as funções são diferenciáveis (aqui praticamente todo (x,y)).

Resposta

m=10

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