Exercício 0.2 Sejam as funções
e
definidas por
e
.
a) Obtenha as leis que definem
e
;
b) Determine os domínios de
e
;
c) Determine os valores de de
;
d) Determine os valores do domínio da função
que tem como imagem 4.
a) Obtenha as leis que definem
b) Determine os domínios de
c) Determine os valores de de
d) Determine os valores do domínio da função
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
e pede quatro coisas:
a) as leis (fórmulas) de e
;
b) os domínios de e
;
c) os valores de e
;
d) os valores do domínio de cuja imagem (valor) é
.
a) as leis (fórmulas) de
b) os domínios de
c) os valores de
d) os valores do domínio de
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar: as expressões de
e
acima. Nada mais foi omitido pelo enunciado.
Passo 2
Vou explicar o conceito de composição de funções de um jeito bem direto: se temos duas funções
e
, a composição
é a função que aplica primeiro
e depois
. Em fórmula:
Para que
esteja definida em um dado
precisamos que:
-
esteja definido (ou seja, pertença ao domínio de ), e - o valor
pertença ao domínio de .
O mesmo raciocínio vale para
: primeiro calculamos
e depois aplicamos
a esse resultado; para isso
tem que estar no domínio de
e
tem que estar no domínio de
.
Passo 3
Agora vamos obter a fórmula de
substituindo
em
.
Começo escrevendo a definição:
Substituo na expressão de
:
Aqui usei que
e tomei
. Agora simplifico
, que é simplesmente
(a raiz quadrada ao quadrado dá o radicando, com a condição adequada de domínio que vamos checar depois):
Somando os termos constantes
, obtenho a forma final:
Passo 4
Determinar o domínio de
.
Lembrete: para
estar definida precisamos que
esteja no domínio de
e que
pertença ao domínio de
.
- O domínio de
é obtido exigindo que o radicando seja não negativo: , logo . - O domínio de
é todo (polinômio), então não impõe restrição adicional.
Portanto o domínio de
é simplesmente
Em notação de intervalos:
.
Passo 5
Agora obtenho a fórmula de
.
Pelo mesmo princípio,
Substituo a expressão de
:
Portanto a lei é
Passo 6
Determinar o domínio de
.
Aqui o radicando precisa ser não negativo:
Para resolver essa desigualdade quadrática, primeiro encontramos as raízes da equação associada
usando a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática). O discriminante é
As raízes são
Como a parábola
tem coeficiente líder positivo (abre para cima), a expressão é não negativa fora do intervalo entre as raízes. Logo a solução da desigualdade é
Esse é o domínio de
.
Passo 7
Calcular
.
Usamos a fórmula obtida para
:
Agora substituo
:
Não há simplificação algébrica adicional cômoda, então esse é o valor final.
Passo 8
Calcular
.
Primeiro calculo
:
Agora aplico
:
Passo 9
Agora resolvo a parte (d): achar os
do domínio de
tais que a imagem é
. Ou seja, resolver
Usando a expressão de
, isso é
Como o lado esquerdo é uma raiz quadrada (sempre não negativo), podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem introduzir soluções espúrias (já que
):
Passo os termos para um lado:
Aplicando a fórmula quadrática, o discriminante é
Extraindo a raiz:
As soluções são
Agora preciso garantir que essas soluções pertencem ao domínio de
, que encontramos no Passo 6 como
Faço aproximações para comparar:
e as soluções que achei são
Observando as posições,
é maior que
, então pertence ao ramo
. E
é menor que
, então pertence ao ramo
. Portanto ambas as soluções satisfazem o domínio e são válidas.
Resposta
a)
e
b) e
c) e
d) e
b)
c)
d)