Exercício 0.2 Sejam as funções f e g definidas por f(x)=x^{2}+4 x-5 e g(x)=\sqrt{x-2}.
a) Obtenha as leis que definem f \circ g e g \circ f;
b) Determine os domínios de f \circ g e g \circ f;
c) Determine os valores de de (f \circ g)(5) e(g \circ f)(5);
d) Determine os valores do domínio da função g \circ f que tem como imagem 4.

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
f(x)=x^{2}+4x-5
g(x)=\sqrt{x-2}
e pede quatro coisas:
a) as leis (fórmulas) de (f\circ g) e (g\circ f);
b) os domínios de (f\circ g) e (g\circ f);
c) os valores de (f\circ g)(5) e (g\circ f)(5);
d) os valores do domínio de g\circ f cuja imagem (valor) é 4.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar: as expressões de f(x) e g(x) acima. Nada mais foi omitido pelo enunciado.

Passo 2

Vou explicar o conceito de composição de funções de um jeito bem direto: se temos duas funções f e g, a composição (f\circ g) é a função que aplica primeiro g e depois f. Em fórmula:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
Para que (f\circ g)(x) esteja definida em um dado x precisamos que:
  1. g(x) esteja definido (ou seja, x pertença ao domínio de g), e
  2. o valor g(x) pertença ao domínio de f.
O mesmo raciocínio vale para (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big): primeiro calculamos f(x) e depois aplicamos g a esse resultado; para isso x tem que estar no domínio de f e f(x) tem que estar no domínio de g.

Passo 3

Agora vamos obter a fórmula de (f\circ g)(x) substituindo g(x) em f.
Começo escrevendo a definição:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f\big(\sqrt{x-2}\big).
Substituo na expressão de f:
f\big(\sqrt{x-2}\big)=\big(\sqrt{x-2}\big)^{2}+4\cdot\sqrt{x-2}-5.
Aqui usei que f(t)=t^{2}+4t-5 e tomei t=\sqrt{x-2}. Agora simplifico \big(\sqrt{x-2}\big)^{2}, que é simplesmente x-2 (a raiz quadrada ao quadrado dá o radicando, com a condição adequada de domínio que vamos checar depois):
(f\circ g)(x)=x-2+4\sqrt{x-2}-5.
Somando os termos constantes -2-5=-7, obtenho a forma final:
(f\circ g)(x)=x-7+4\sqrt{x-2}.

Passo 4

Determinar o domínio de (f\circ g).
Lembrete: para (f\circ g)(x) estar definida precisamos que x esteja no domínio de g e que g(x) pertença ao domínio de f.
  • O domínio de g é obtido exigindo que o radicando seja não negativo: x-2\ge 0, logo x\ge 2.
  • O domínio de f é todo \mathbb{R} (polinômio), então não impõe restrição adicional.
Portanto o domínio de (f\circ g) é simplesmente
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 2\}.
Em notação de intervalos: [2,\infty).

Passo 5

Agora obtenho a fórmula de (g\circ f)(x).
Pelo mesmo princípio,
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\sqrt{f(x)-2}.
Substituo a expressão de f(x):
(g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}+4x-5-2}=\sqrt{x^{2}+4x-7}.
Portanto a lei é
(g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}+4x-7}.

Passo 6

Determinar o domínio de (g\circ f).
Aqui o radicando precisa ser não negativo:
x^{2}+4x-7\ge 0.
Para resolver essa desigualdade quadrática, primeiro encontramos as raízes da equação associada
x^{2}+4x-7=0,
usando a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática). O discriminante é
\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot(-7)=16+28=44.
As raízes são
x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}.
Como a parábola x^{2}+4x-7 tem coeficiente líder positivo (abre para cima), a expressão é não negativa fora do intervalo entre as raízes. Logo a solução da desigualdade é
(-\infty,-2-\sqrt{11}]\;\cup\;[-2+\sqrt{11},\infty).
Esse é o domínio de (g\circ f).

Passo 7

Calcular (f\circ g)(5).
Usamos a fórmula obtida para (f\circ g)(x):
(f\circ g)(x)=x-7+4\sqrt{x-2}.
Agora substituo x=5:
(f\circ g)(5)=5-7+4\sqrt{5-2}= -2 +4\sqrt{3}.
Não há simplificação algébrica adicional cômoda, então esse é o valor final.

Passo 8

Calcular (g\circ f)(5).
Primeiro calculo f(5):
f(5)=5^{2}+4\cdot5-5=25+20-5=40.
Agora aplico g:
(g\circ f)(5)=g(f(5))=\sqrt{40-2}=\sqrt{38}.

Passo 9

Agora resolvo a parte (d): achar os x do domínio de g\circ f tais que a imagem é 4. Ou seja, resolver
(g\circ f)(x)=4.
Usando a expressão de (g\circ f)(x), isso é
\sqrt{x^{2}+4x-7}=4.
Como o lado esquerdo é uma raiz quadrada (sempre não negativo), podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem introduzir soluções espúrias (já que 4\ge 0):
x^{2}+4x-7=16.
Passo os termos para um lado:
x^{2}+4x-23=0.
Aplicando a fórmula quadrática, o discriminante é
\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot(-23)=16+92=108.
Extraindo a raiz:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt{3}.
As soluções são
x=\frac{-4\pm 6\sqrt{3}}{2}=-2\pm 3\sqrt{3}.
Agora preciso garantir que essas soluções pertencem ao domínio de g\circ f, que encontramos no Passo 6 como
(-\infty,-2-\sqrt{11}]\cup[-2+\sqrt{11},\infty).
Faço aproximações para comparar:
-2-\sqrt{11}\approx -2-3{,}316\approx -5{,}316,
-2+\sqrt{11}\approx -2+3{,}316\approx 1{,}316,
e as soluções que achei são
-2+3\sqrt{3}\approx -2+5{,}196\approx 3{,}196,
-2-3\sqrt{3}\approx -2-5{,}196\approx -7{,}196.
Observando as posições, -2+3\sqrt{3} é maior que 1{,}316, então pertence ao ramo [ -2+\sqrt{11},\infty). E -2-3\sqrt{3} é menor que -5{,}316, então pertence ao ramo (-\infty,-2-\sqrt{11}]. Portanto ambas as soluções satisfazem o domínio e são válidas.

Resposta

a) (f\circ g)(x)=x-7+4\sqrt{x-2} e (g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}+4x-7}
b) \mathrm{dom}(f\circ g)=[2,\infty) e \mathrm{dom}(g\circ f)=(-\infty,-2-\sqrt{11}]\cup[-2+\sqrt{11},\infty)
c) (f\circ g)(5)=-2+4\sqrt{3} e (g\circ f)(5)=\sqrt{38}
d) x=-2+3\sqrt{3} e x=-2-3\sqrt{3}

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