1. x^3-y^3=7
  2. Se x y+e^y=e, encontre o valor de y^prime prime no ponto onde x=0.

Passo 1

O enunciado pede, na parte 42, a derivada y' para a equação implícita
x^3 - y^3 = 7
e, na parte 43, o valor de y'' no ponto em que x=0 para a equação
x,y + e^y = e
Para isso vamos usar diferenciação implícita e, no caso do segundo exercício, também a regra do quociente.

Passo 2

Na equação
x^3 - y^3 = 7,
derivamos ambos os lados em relação a x. A derivada de x^3 é 3x^2 e de -y^3 é -3y^2,y', logo
3x^2 - 3y^2,y' = 0

Passo 3

Isolando y', temos
-3y^2,y' = -3x^2 Longrightarrow y' = x^2y^2

Passo 4

Agora consideramos
x,y + e^y = e
Derivando em relação a x, obtemos
x,y' + y + e^y,y' = 0,
pois tfracddx(x,y)=x,y'+y e tfracddx(e^y)=e^y,y'.

Passo 5

Agrupando y',
y'(x + e^y) = -y Longrightarrow y' = -yx + e^y
Para x=0 a equação original dá e^y = e, ou seja y=1. Assim
y'(0) = -10 + e = -1e

Passo 6

Escrevemos y' = dfracND com N=-y e D=x+e^y. A regra do quociente diz
y'' = N'D - N D'D^2,
onde N' = -y' e D' = 1 + e^y,y'.

Passo 7

Substituindo x=0, y=1 e y'(0)=-1/e em
y'' = (-y')(x + e^y) + y,(1 + e^y,y')(x + e^y)^2,
temos x+e^y=e, então
(-y')(x+e^y) = -l(-1er),e = 1, y,(1 + e^y,y') = 1l(1 + ecdot(-tfrac1e)r) = 0,
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y''(0) = 1 + 0e^2 = 1e^2

Resposta

  1. y' = dfracx^2y^2
  2. y''(0) = dfrac1e^2

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