Prove que, para todo
, tem-se int
Uint
um exemplo em que int
int
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
,
onde
é o conjunto dos pontos de
que possuem um intervalo aberto inteiro contido em
. Em seguida, devemos dar um exemplo em que essa inclusão seja estrita.
Passo 2
Prova da inclusão
Seja . Então temos dois casos:
Seja
-
. Por definição, existe tal que . Mas , logo . Isso mostra que . -
. Analogamente, existe com , implicando .
Em ambos os casos concluímos
. Portanto
Passo 3
Exemplo de inclusão estrita
Considere
Considere
Então
e
Por outro lado
de modo que
Como
, a inclusão é estrita nesse caso.
Resposta
Exemplo em que há desigualdade estrita: