Prove que, para todo X, Y subset R, tem-se int X Uint Y subset int(X cup Y), Dêê um exemplo em que int X cup int Y neq int(X cup Y).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados X,YsubsetR,
int(X)cupint(Y)subset int(Xcup Y),
onde int(A) é o conjunto dos pontos de A que possuem um intervalo aberto inteiro contido em A. Em seguida, devemos dar um exemplo em que essa inclusão seja estrita.

Passo 2

Prova da inclusão
Seja xin int(X)cupint(Y). Então temos dois casos:
  1. xin int(X). Por definição, existe varepsilon>0 tal que (x-varepsilon,x+varepsilon)subset X. Mas Xsubset Xcup Y, logo (x-varepsilon,x+varepsilon)subset Xcup Y. Isso mostra que xin int(Xcup Y).
  2. xin int(Y). Analogamente, existe de<a>0 com (x-de<a,x+de<a)subset Ysubset Xcup Y, implicando xin int(Xcup Y).
Em ambos os casos concluímos xin int(Xcup Y). Portanto
int(X)cupint(Y)subset int(Xcup Y)

Passo 3

Exemplo de inclusão estrita
Considere
X=[0,1], Y=[1,2]
Então
int(X)=(0,1), int(Y)=(1,2),
e
int(X)cupint(Y) =(0,1)cup(1,2)
Por outro lado
Xcup Y=[0,2],
de modo que
int(Xcup Y)=(0,2)
Como (0,1)cup(1,2)neq(0,2), a inclusão é estrita nesse caso.

Resposta

int(X)cupint(Y)subset int(Xcup Y).
Exemplo em que há desigualdade estrita: X=[0,1],,Y=[1,2], pois
int(X)cupint(Y)=(0,1)cup(1,2)neq(0,2)=int(Xcup Y).

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