Um homem de altura H está caminhando em direção a um poste de iluminação com altura P. Supomos que o poste é mais alto que o homem. Num certo instante ele se move com velocidade v. Determine com que velocidade se move, neste instante:
a) a extremidade de sua sombra

Passo 1

O enunciado envolve um homem de altura H que caminha em direção a um poste de altura P (com P>H) à velocidade v. Precisamos usar semelhança de triângulos para relacionar a distância do homem ao poste e o comprimento de sua sombra, e então diferenciar para achar a velocidade da extremidade da sombra.

Passo 2

Defina
;x(t) = distância do homem ao poste,
;y(t) = comprimento da sombra além do homem.
Pela semelhança dos triângulos formados pelas alturas e bases, vale
Px+y ;=;Hy
Multiplicando em cruz e isolando y, obtemos
(P - H),y = H,x Longrightarrow y = HP - H,x
A posição da extremidade da sombra medida a partir do poste é
x + y ;=; x + HP - H,x ;=; PP - H,x

Passo 3

Para achar a velocidade da extremidade da sombra, diferenciamos em relação ao tempo:
ddt(x+y) = ddt!l(tfracPP - H,xr) = PP - H,dxdt
Como o homem se aproxima do poste com velocidade v, temos tfracdxdt=-v. Logo,
ddt(x+y) = -PP - H,v

Resposta

A extremidade da sombra aproxima-se do poste com velocidade de módulo
PP - H,v

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