Um homem de altura
está caminhando em direção a um poste de iluminação com altura
. Supomos que o poste é mais alto que o homem. Num certo instante ele se move com velocidade
. Determine com que velocidade se move, neste instante:
a) a extremidade de sua sombra
a) a extremidade de sua sombra
Passo 1
O enunciado envolve um homem de altura
que caminha em direção a um poste de altura
(com
) à velocidade
. Precisamos usar semelhança de triângulos para relacionar a distância do homem ao poste e o comprimento de sua sombra, e então diferenciar para achar a velocidade da extremidade da sombra.
Passo 2
Defina
distância do homem ao poste,
comprimento da sombra além do homem.
Pela semelhança dos triângulos formados pelas alturas e bases, vale
Pela semelhança dos triângulos formados pelas alturas e bases, vale
Multiplicando em cruz e isolando
, obtemos
A posição da extremidade da sombra medida a partir do poste é
Passo 3
Para achar a velocidade da extremidade da sombra, diferenciamos em relação ao tempo:
Como o homem se aproxima do poste com velocidade
, temos
. Logo,
Resposta
A extremidade da sombra aproxima-se do poste com velocidade de módulo