Encontre o valor de f^prime(x) no valor de x indicado utilizando a definição de derivada de uma função no ponto.
f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 em x=-2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
no ponto x=-2, usando a definição de derivada no ponto
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h

Passo 2

Para fundamentar pelo método da definição, lembramos que, se
g(x)=x^n,
então
g'(a)=limhto0(a+h)^n-a^nh
Pelo binômio de Newton, os termos de ordem h^2 ou superior tendem a zero no limite, sobrando apenas
g'(a)=n,a^n-1

Passo 3

Usando a linearidade da derivada, aplicamos esse resultado termo a termo em
f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1:
f'(x)=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1

Passo 4

Agora basta substituir x=-2 em f'(x):
f'(-2)=5(-2)^4+4(-2)^3+3(-2)^2+2(-2)+1 =5cdot16-32+12-4+1 =80-32+12-4+1 =57

Resposta

f'(-2)=57

Exercícios relacionados