Resolva os PVI’s (miscelânia).
l4 x^3 y d x+(x^4+2 y) d y=0 y(-2)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por
4x^3y,dx + (x^4 + 2y),dy = 0, com condição inicial y(-2)=3. Isso cai no conteúdo de equações diferenciais exatas, onde a gente vai checar exatidão e depois encontrar a função potencial.

Passo 2

Para testar se a equação é exata, identificamos
M(x,y)=4x^3y e N(x,y)=x^4+2y. Calculamos
partial Mpartial y=4x^3,
partial Npartial x=4x^3
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a forma é exata.

Passo 3

Agora construímos a função potencial F(x,y) tal que
partial F/partial x=M. Integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral 4x^3y,dx = x^4y + h(y)
Em seguida, usamos
partial F/partial y = x^4 + h'(y) e igualamos a N(x,y):
x^4+h'(y)=x^4+2y implies h'(y)=2y implies h(y)=y^2

Passo 4

Logo, a solução geral implícita é
F(x,y)=x^4y + y^2=C

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(-2)=3, substituímos x=-2 e y=3:
(-2)^4cdot3 + 3^2=16cdot3+9=48+9=57,
logo C=57.

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por:
x^4y + y^2 = 57
Em forma explícita, escolhendo a rama que satisfaz y(-2)=3, temos
y(x)=-x^4 + raizx^8 + 2282

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