Encontre o valor de
em que
é a região entre os planos
e
dentro do cilindro
.
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa encontrar o valor da integral tripla
, onde
é a região entre os planos
e
, dentro do cilindro
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para lidar com cilindros e regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente representa um ponto no espaço usando três coordenadas:
(a distância do ponto ao eixo
),
(o ângulo em relação ao eixo
), e
(a mesma coordenada
das coordenadas cartesianas). A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
Além disso, no cálculo de integrais, o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos expressar os limites de integração. A região
está dentro do cilindro
, então em coordenadas cilíndricas, isso significa que
varia de 0 a 1. O ângulo
vai de 0 a
para cobrir toda a circunferência. Para o
, a região está entre os planos
e
. Substituindo
e
em termos de
e
, a equação do plano fica:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função que queremos integrar é
, que em coordenadas cilíndricas é
. Então, a integral fica:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro. Integrando
de 0 a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, temos:
Passo 7
Vamos resolver cada uma das integrais em
:
Substituindo na integral principal:
Passo 8
Vamos agora integrar em relação a
:
-
(já que ) -
(porque ) -
(usando a identidade )
Resposta
O valor da integral tripla é
.