Encontre o valor de
integral triplaE z d V
em que E é a região entre os planos x=0 e x+y+z=2 dentro do cilindro y^2+z^2=1.
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa encontrar o valor da integral tripla integral triplaE z , dV, onde E é a região entre os planos x=0 e x+y+z=2, dentro do cilindro y^2+z^2=1. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para lidar com cilindros e regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, a gente representa um ponto no espaço usando três coordenadas: r (a distância do ponto ao eixo x), theta (o ângulo em relação ao eixo y), e x (a mesma coordenada x das coordenadas cartesianas). A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é dada por:
y = r cos theta e z = r sin theta
Além disso, no cálculo de integrais, o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dx

Passo 3

Agora, vamos expressar os limites de integração. A região E está dentro do cilindro y^2+z^2=1, então em coordenadas cilíndricas, isso significa que r varia de 0 a 1. O ângulo theta vai de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência. Para o x, a região está entre os planos x=0 e x+y+z=2. Substituindo y e z em termos de r e theta, a equação do plano fica:
x + r cos theta + r sin theta = 2 implies x = 2 - r (cos theta + sin theta)
Então, x varia de 0 a 2 - r (cos theta + sin theta).

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função que queremos integrar é z, que em coordenadas cilíndricas é z = r sin theta. Então, a integral fica:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^2 - r (cos theta + sin theta) r sin theta cdot r , dx , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^1 integral0^2 - r (cos theta + sin theta) r^2 sin theta , dx , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a x primeiro. Integrando r^2 sin theta de 0 a 2 - r (cos theta + sin theta):
integral0^2 - r (cos theta + sin theta) r^2 sin theta , dx = r^2 sin theta cdot [x]0^2 - r (cos theta + sin theta) = r^2 sin theta cdot [2 - r (cos theta + sin theta)]
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^2 sin theta [2 - r (cos theta + sin theta)] , dr , dtheta

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
r^2 sin theta cdot 2 - r^3 sin theta (cos theta + sin theta) = 2 r^2 sin theta - r^3 sin theta cos theta - r^3 sin^2 theta
Então, temos:
integral0^2pi ( integral0^1 2 r^2 sin theta , dr - integral0^1 r^3 sin theta cos theta , dr - integral0^1 r^3 sin^2 theta , dr ) dtheta

Passo 7

Vamos resolver cada uma das integrais em r:
  1. integral0^1 2 r^2 sin theta , dr = 2 sin theta [ r^33 ]0^1 = 23 sin theta
  2. integral0^1 r^3 sin theta cos theta , dr = sin theta cos theta [ r^44 ]0^1 = 14 sin theta cos theta
  3. integral0^1 r^3 sin^2 theta , dr = sin^2 theta [ r^44 ]0^1 = 14 sin^2 theta
Substituindo na integral principal:
integral0^2pi ( 23 sin theta - 14 sin theta cos theta - 14 sin^2 theta ) dtheta

Passo 8

Vamos agora integrar em relação a theta:
  1. integral0^2pi 23 sin theta , dtheta = 23 [ -cos theta ]0^2pi = 0 (já que -cos 2pi + cos 0 = -1 + 1 = 0)
  2. integral0^2pi 14 sin theta cos theta , dtheta = 18 [ sin^2 theta ]0^2pi = 0 (porque sin^2 2pi - sin^2 0 = 0 - 0 = 0)
  3. integral0^2pi 14 sin^2 theta , dtheta = 14 cdot pi = pi4 (usando a identidade sin^2 theta = 1 - cos 2theta2)

Resposta

O valor da integral tripla é pi4.

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