Sejam v1=(1,2,-3), v2=(2,1,2), v3=(-3,1,1) e u=(10,3,-6) vetores do R^3. Encontre os valores de k1, k2 e k3 que satisfazem a equação k1 v1+k2 v2+ k3 v3=u.

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: somos dados quatro vetores no espaço tridimensional R^3. Três deles são v1=(1,2,-3), v2=(2,1,2) e v3=(-3,1,1). O quarto vetor é u=(10,3,-6). A gente precisa encontrar os coeficientes k1, k2 e k3 que fazem a combinação linear desses três primeiros vetores igualar o vetor u, ou seja:
k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 = u
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de sistemas lineares, onde precisamos encontrar os valores de k1, k2 e k3 que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 multiplicados pelos coeficientes k1, k2 e k3, respectivamente, igualando-a ao vetor u. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
k1(1) + k2(2) + k3(-3) = 10 k1(2) + k2(1) + k3(1) = 3 k1(-3) + k2(2) + k3(1) = -6
Simplificando, temos:
k1 + 2k2 - 3k3 = 10 (1) 2k1 + k2 + k3 = 3 (2) -3k1 + k2 + k3 = -6 (3)

Passo 3

Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de k1, k2 e k3. Vou usar o método da substituição ou da combinação (eliminação) para simplificar o sistema.
Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos tentar eliminar k1.
Multiplicando a equação (1) por 2:
2k1 + 4k2 - 6k3 = 20 (1a)
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (1a):
(2k1 + 4k2 - 6k3) - (2k1 + k2 + k3) = 20 - 3 2k1 + 4k2 - 6k3 - 2k1 - k2 - k3 = 17 3k2 - 7k3 = 17 (4)
Agora, vamos eliminar k1 entre as equações (2) e (3). Para isso, multiplicamos a equação (2) por 3:
6k1 + 3k2 + 3k3 = 9 (2a)
Agora, somamos a equação (3) à equação (2a):
6k1 + 3k2 + 3k3 + (-3k1 + k2 + k3) = 9 + (-6) 3k1 + 4k2 + 4k3 = 3 (5)

Passo 4

Agora, temos duas novas equações sem k1:
3k2 - 7k3 = 17 (4) 3k1 + 4k2 + 4k3 = 3 (5)
Vamos resolver a equação (4) para uma das variáveis, digamos k2:
3k2 = 17 + 7k3 k2 = 17 + 7k33 (6)
Agora, substituímos k2 da equação (6) na equação (5):
3k1 + 4(17 + 7k33) + 4k3 = 3 3k1 + 68 + 28k33 + 4k3 = 3
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
9k1 + 68 + 28k3 + 12k3 = 9 9k1 + 40k3 = -59 (7)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma relação entre k1 e k3. Vamos usar a equação (2) para isso. Da equação (2):
2k1 + k2 + k3 = 3
Substituímos k2 da equação (6):
2k1 + 17 + 7k33 + k3 = 3
Multiplicando todos os termos por 3:
6k1 + 17 + 7k3 + 3k3 = 9 6k1 + 10k3 = -8 (8)

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
9k1 + 40k3 = -59 (7) 6k1 + 10k3 = -8 (8)
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a equação (8) por 1.5 para igualar os coeficientes de k1:
1.5 times (6k1 + 10k3) = 1.5 times (-8) 9k1 + 15k3 = -12 (8a)
Agora, subtraímos a equação (8a) da equação (7):
(9k1 + 40k3) - (9k1 + 15k3) = -59 - (-12) 25k3 = -47 k3 = -4725 = -1.88

Passo 7

Com o valor de k3, podemos encontrar k2 usando a equação (6):
k2 = 17 + 7k33 k2 = 17 + 7(-1.88)3 k2 = 17 - 13.163 k2 = 3.843 k2 = 1.28
Agora, usamos a equação (8) para encontrar k1:
6k1 + 10k3 = -8 6k1 + 10(-1.88) = -8 6k1 - 18.8 = -8 6k1 = 10.8 k1 = 10.86 k1 = 1.8

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
k1 = 1.8, k2 = 1.28, k3 = -1.88

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