Encontre o valor k para que a f(x) seja uma legítma f.d.p.
f(x)=k x^22 IX(0,2)

Passo 1

Beleza, o que o enunciado tá pedindo é achar o valor de f(x)=k ,x^22,I(0,2)(x) que faz com que
seja uma função densidade de probabilidade válida. Isso cai em teoria de Variáveis Aleatórias Contínuas: a gente precisa que a área (integral) de de a seja 1. Aqui o suporte é só de 0 a 2 (por causa do ), então é isso que a gente vai usar.

Passo 2

A regra mais importante de uma densidade de probabilidade integral-infty^+infty f(x),dx ;=; 1 é
integral0^2 k,x^22,dx ;=; 1
Como o indicador k2,integral0^2 x^2,dx ;=; 1 “liga” a função só em integral0^2 x^2,dx = x^33|0^2 = 2^33 - 0 = 83 , a integral vira
k2;times;83 ;=; 1
Agora é só integrar passo a passo:
  1. Puxamos pra fora, pois é constante:
  2. Sabemos da regra de potência que
    .
    Avaliando de 0 a 2:
  3. Substituindo na equação:

Passo 3

Agora é resolver pra k2,83 = 1 Longrightarrow k,86 = 1 Longrightarrow k,43 = 1 Longrightarrow k = 34 :

Resposta

.

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