Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando
quando
. Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
b) Suponha agora
e
. Mostre que a mudança de variável
reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear.
c) Encontre a solução geral
da equação linear resultante do item (b).
d) Usando a solução do item (c), faça a mudança de variável
e explicite a solução da equação de Bernoulli.
e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de
f) Resolva a equação
onde
.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando
b) Suponha agora
c) Encontre a solução geral
d) Usando a solução do item (c), faça a mudança de variável
e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de
Passo 1
O enunciado trata da equação de Bernoulli
que para
e
já se torna linear, e para
se resolve pela mudança de variável
. Vamos, primeiro, verificar os casos especiais (item a), depois mostrar a mudança (b), resolver a linear resultante (c), voltar a
(d) e, por fim, aplicar o método aos exemplos dados (itens e e f).
Passo 2
Casos
e
.
Para a equação é
Para
que é linear de 1.º ordem com fator integrante
logo a solução é
Para
a equação vira
que é homogênea linear com solução
Passo 3
Mudança de variável para
.
Defina
Defina
Então
e da equação original
obtemos
Mas
, e reorganizando dá-se a linear em
:
Passo 4
Solução geral da linear em
.
A equação
A equação
tem fator integrante
Multiplicando por
e integrando,
Passo 5
Volta a
.
Como , temos
Como
Substituindo a expressão de
obtém-se a solução geral da Bernoulli.
Passo 6
Aplicação ao item (e):
Escrevendo em forma padrão,
aqui
,
,
. Pondo
, a linear em
é
O fator integrante é
, então
logo
e
Passo 7
Aplicação ao item (f):
Reescrevendo
é Bernoulli com
,
,
. Tome
. A linear é
Fator integrante
, então
onde
é constante arbitrária.
Resposta
(a) Para
,
Para
,
(b) Com
, a equação se torna
(c)
(d)
(e)
(f)