Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
y^prime+p(t) y=g(t) y^n
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
a) Resolva a equação de Bernoulli quando n=0 e quando n=1. Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
b) Suponha agora n neq 0 e n neq 1. Mostre que a mudança de variável u=y^1-n reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear.
c) Encontre a solução geral u(t) da equação linear resultante do item (b).
d) Usando a solução do item (c), faça a mudança de variável y=u^1n-1 e explicite a solução da equação de Bernoulli.
e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de
t^2 y^prime+2 t y-y^3=0, t>0
f) Resolva a equação y^prime=r y-k y^2 onde r, k>0.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Bernoulli
y' + p(t),y = g(t),y^n
que para n=0 e n=1 já se torna linear, e para nneq0,1 se resolve pela mudança de variável u=y^1-n. Vamos, primeiro, verificar os casos especiais (item a), depois mostrar a mudança (b), resolver a linear resultante (c), voltar a y (d) e, por fim, aplicar o método aos exemplos dados (itens e e f).

Passo 2

Casos n=0 e n=1.
Para n=0 a equação é
y' + p(t),y = g(t),,
que é linear de 1.º ordem com fator integrante
mu(t)=exp!l(integral p(t),dtr),
logo a solução é
y(t) =1mu(t)l(integral mu(t),g(t),dt + Cr)
Para n=1 a equação vira
y' + p(t),y = g(t),y ;Longrightarrow; y' +l(p(t)-g(t)r),y=0,
que é homogênea linear com solução
y(t)=Cexp!l(-integrall(p(t)-g(t)r),dtr)

Passo 3

Mudança de variável para nneq0,1.
Defina
u = y^1-n
Então
u' = (1-n),y^-n,y',
e da equação original y' = -p,y + g,y^n obtemos
u' = (1-n)l(-p,y^1-n + g,y^1-n+nr) =(1-n)l(-p,u + g,yr)
Mas y=y^n+(1-n)=u^n1-n, e reorganizando dá-se a linear em u:
u' + (1-n),p(t),u = (1-n),g(t)

Passo 4

Solução geral da linear em u.
A equação
u' + (1-n),p(t),u = (1-n),g(t)
tem fator integrante
muu(t)=exp!l(integral (1-n),p(t),dtr)
Multiplicando por muu e integrando,
u(t) =1muu(t) l(integral muu(t),(1-n),g(t),dt + Cr)

Passo 5

Volta a y.
Como u=y^1-n, temos
y(t) = l(u(t)r)^11-n
Substituindo a expressão de u(t) obtém-se a solução geral da Bernoulli.

Passo 6

Aplicação ao item (e):
t^2,y' + 2t,y - y^3=0, t>0
Escrevendo em forma padrão,
y' + 2t,y = 1t^2,y^3,
aqui n=3, p(t)=2/t, g(t)=1/t^2. Pondo u=y^1-3=y^-2, a linear em u é
u' + (1-3)2t,u = (1-3)1t^2 ;Longrightarrow; u' - 4t,u = -2t^2
O fator integrante é muu=t^-4, então
u,t^-4 = integral -2,t^-6,dt + C = 25,t^-5 + C,
logo
u(t)=25,t^-1 + C,t^4,
e
y(t)=l(u(t)r)^-1/2 =1raiz25,t^-1 + C,t^4

Passo 7

Aplicação ao item (f):
y' = r,y - k,y^2, r,k>0
Reescrevendo
y' - r,y = -k,y^2,
é Bernoulli com n=2, p=-r, g=-k. Tome u=y^1-2=y^-1. A linear é
u' + (1-2)(-r),u = (1-2)(-k) ;Longrightarrow; u' + r,u = k
Fator integrante muu=e^rt, então
u,e^rt = integral k,e^rt,dt + C = kr,e^rt + C,
u(t)=kr + C,e^-rt, y(t)=1u(t) =1kr + C,e^-rt =rk + A,e^-rt,
onde A=rC é constante arbitrária.

Resposta

(a) Para n=0,
y(t)=e^-integral p(t),dtl(integral e^integral p(t),dt,g(t),dt + Cr)
Para n=1,
y(t)=Cexp!l(-integrall(p(t)-g(t)r),dtr)
(b) Com u=y^1-n, a equação se torna
u' + (1-n),p(t),u = (1-n),g(t)
(c)
u(t) =exp!l(-!(1-n)!integral p(t),dtr) l(integral (1-n),g(t),exp!l((1-n)!integral p(t),dtr),dt + Cr)
(d)
y(t)=l(u(t)r)^11-n
(e)
y(t)=1raiz25,t^-1 + C,t^4
(f)
y(t)=rk + A,e^-rt, A constante

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