Encontre o valor ou valores de a para que a função dada abaixo seja contínua em (0,0).
f(x, y)=cc (x^2+2 a cos (x+y))(x^6+y^8)raizx^6+y^8+1-1+sen(x^4+y^2)x^4+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 4 a^2-2 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para achar o(s) valor(es) de a que tornam a função f(x,y) contínua em (0,0). O conteúdo de matéria envolvido é limite e continuidade de funções de várias variáveis; vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) e igualá-lo ao valor da função em (0,0).

Passo 2

A definição dá f(0,0)=4a^2-2. Para continuidade queremos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=4a^2-2

Passo 3

Separemos f(x,y) em duas parcelas:
T1=(x^2+2acos(x+y))(x^6+y^8)raizx^6+y^8+1-1,
T2=sin(x^4+y^2)x^4+y^2

Passo 4

Calculamos primeiro lim(x,y)to(0,0)T2. Como u=x^4+y^2to0, vale
limuto0sin uu=1,
logo lim T2=1.

Passo 5

Agora calculamos lim(x,y)to(0,0)T1. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizx^6+y^8+1-1:
T1=(x^2+2acos(x+y))(x^6+y^8)raizx^6+y^8+1+1(raizx^6+y^8+1-1)(raizx^6+y^8+1+1)

Passo 6

No denominador aparece
(raizx^6+y^8+1)^2-1^2=(x^6+y^8+1)-1=x^6+y^8,
então
T1=(x^2+2acos(x+y))l(raizx^6+y^8+1+1r)

Passo 7

Quando (x,y)to(0,0) temos cos(x+y)to1 e raizx^6+y^8+1to1. Logo
lim T1=(0^2+2acdot1)(1+1)=4a

Passo 8

Somando as duas parcelas, o limite de f(x,y) é
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=4a+1

Passo 9

Para ter continuidade em (0,0) igualamos esse limite ao valor de f(0,0):
4a+1=4a^2-2Longrightarrow4a^2-4a-3=0
Resolvendo a equação de segundo grau, achamos
a=4pm88=32ou a=-tfrac12

Resposta

Os valores de a que tornam f contínua em (0,0) são a=tfrac32 e a=-tfrac12.

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