Encontre o valor ou valores de para que a função dada abaixo seja contínua em .
Passo 1
O enunciado pede para achar o(s) valor(es) de a que tornam a função f(x,y) contínua em (0,0). O conteúdo de matéria envolvido é limite e continuidade de funções de várias variáveis; vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) e igualá-lo ao valor da função em (0,0).
Passo 2
A definição dá f(0,0)=4a^2-2. Para continuidade queremos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=4a^2-2
Passo 3
Separemos f(x,y) em duas parcelas:
T1=(x^2+2acos(x+y))(x^6+y^8)raizx^6+y^8+1-1,
T2=sin(x^4+y^2)x^4+y^2
Passo 4
Calculamos primeiro lim(x,y)to(0,0)T2. Como u=x^4+y^2to0, vale
limuto0sin uu=1,
logo lim T2=1.
Passo 5
Agora calculamos lim(x,y)to(0,0)T1. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizx^6+y^8+1-1: