Encontre o valor de x para que o determinante seja igual a zero.
|cccc2 & 3 & x & 0 x & -1 & -2 & 1 1 & 4 & 3 & -1 x & 0 & 3 & 0|

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de x tais que o determinante da matriz
A= 2 & 3 & x & 0 x & -1 & -2 & 1 1 & 4 & 3 & -1 x & 0 & 3 & 0
seja zero. O conteúdo aqui é o cálculo de determinante de ordem 4 usando expansão de Laplace.

Passo 2

Vamos expandir o determinante de A pela quarta coluna, pois nela aparecem zeros em duas entradas, o que simplifica. Chamando det A de D, temos
D =sumi=1^4(-1)^i+4ai4det Mi4 =1cdot(-1)^2+4det M24 +(-1)cdot(-1)^3+4det M34,
onde Mi4 é a submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna 4. Como (-1)^6=1 e (-1)^7=-1, obtemos
D=det M24+det M34

Passo 3

Agora calculamos
det M24 = 2 & 3 & x 1 & 4 & 3 x & 0 & 3
Usando a regra de Sarrus ou a fórmula de Laplace na primeira linha:
det M24 =2,(4cdot3-3cdot0) -3,(1cdot3-3cdot x) +x,(1cdot0-4cdot x) =2cdot12-3(3-3x)+x(-4x) =24-9+9x-4x^2 =-4x^2+9x+15

Passo 4

Em seguida,
det M34 = 2 & 3 & x x & -1 & -2 x & 0 & 3
Expandindo pela primeira linha:
det M34 =2l((-1)cdot3-(-2)cdot0r) -3l(xcdot3-(-2)cdot xr) +xl(xcdot0-(-1)cdot xr) =-6-15x+x^2 =x^2-15x-6

Passo 5

Somando os dois resultados, o determinante original é
D =(-4x^2+9x+15)+(x^2-15x-6) =-3x^2-6x+9 =-3,(x^2+2x-3) =-3,(x-1),(x+3)

Passo 6

Para que det A=0, devemos ter
-3,(x-1),(x+3)=0 Longrightarrow (x-1)(x+3)=0
que dá as soluções
x=1 ou x=-3

Resposta

x=1 ou x=-3

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