Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y) com produto interno canônico.
Exiba uma base de autovetores de T.

Passo 1

O enunciado pede uma base de autovetores para a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z) = (y+z,;x+z,;x+y),
usando o produto interno canônico. O conteúdo aqui é encontrar a matriz de T na base canônica, calcular seus autovalores via polinômio característico e, em seguida, resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3 a matriz de T é
A = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ,
que é simétrica.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0:
det -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda = -lambda^3 +3lambda +2 = -(lambda-2)(lambda+1)^2
Assim, os autovalores são lambda1=2 (multiplicidade 1) e lambda2=lambda3=-1 (multiplicidade 2).

Passo 4

Para
Dessas equações segue é autovetor associado a .

Passo 5

Para
Daí . Podemos escolher, por exemplo,
que satisfazem e são linearmente independentes. Para checar, note

Passo 6

Reunindo, temos três autovetores linearmente independentes:
v1=(1,1,1), v2=(1,-1,0), v3=(1,0,-1),
associados respectivamente a lambda1=2 e lambda2=lambda3=-1.

Resposta

Uma base de autovetores de T é, por exemplo,
(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,-1)

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