Seja f(x)=cca x+b & se x<3 4 & se x=3 a x^2-b & se x>3 Determinar lim x 3^+ f(x) e lim x 3^- f(x). Determine os valores de a, b para que f seja contínua em x=3.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= a x + b, &x<3, 4, &x=3, a x^2 - b, &x>3,
e pede os limites laterais em x=3 e os valores de a,b para que f seja contínua em 3. Vamos usar a definição de limite lateral e a condição de continuidade em um ponto.

Passo 2

Para limxto3^-f(x) usamos o ramo válido quando x<3, que é f(x)=a x+b. Como essa expressão é linear e contínua, basta substituir x=3:
limxto3^-f(x) = acdot3 + b = 3a + b

Passo 3

Para limxto3^+f(x) usamos o ramo válido quando x>3, que é f(x)=a x^2 - b. Essa expressão também é contínua, logo
limxto3^+f(x) = acdot3^2 - b = 9a - b

Passo 4

A função
Como , formamos o sistema
Somando as duas equações:
Substituindo em (3a+b=4]:

Resposta

limxto3^-f(x)=3a+b, limxto3^+f(x)=9a-b.
Para continuidade em x=3 obtém-se
a=tfrac23, b=2,
caso em que ambos os limites valem 4.

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