Seja S a superfície parametrizada por
sigma(u, v)=(u, v, 1-v^2), com u >= 0, v >= 0, e u+v <= 1
Determine o plano tangente a S no ponto sigma(1 / 2,1 / 4).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma superfície S definida por uma parametrização, ou seja, uma forma de representar cada ponto na superfície usando dois parâmetros, u e v . O enunciado quer que a gente encontre o plano tangente a essa superfície no ponto específico sigma(12, 14) . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o plano tangente a uma superfície parametrizada. Isso envolve entender derivadas parciais e vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície:
sigma(u, v) = (u, v, 1 - v^2)
Isso significa que para cada par de valores u e v , temos um ponto na superfície S .

Passo 3

O ponto em questão é sigma(12, 14) . Vamos calcular as coordenadas desse ponto substituindo u = 12 e v = 14 na parametrização:
sigma(12, 14) = (12, 14, 1 - (14)^2) = (12, 14, 1 - 116) = (12, 14, 1516)
Então, o ponto é (12, 14, 1516) .

Passo 4

Para encontrar o plano tangente, precisamos determinar dois vetores tangentes à superfície no ponto dado. Esses vetores são obtidos calculando as derivadas parciais de sigma(u, v) em relação a u e v .
Primeiro, vamos calcular sigmau (derivada parcial em relação a u ):
sigmau = partial sigmapartial u = (1, 0, 0)
Agora, calculamos sigmav (derivada parcial em relação a v ):
sigmav = partial sigmapartial v = (0, 1, -2v)
No ponto v = 14 :
sigmav(14) = (0, 1, -2 times 14) = (0, 1, -12)

Passo 5

Com os vetores tangentes sigmau = (1, 0, 0) e sigmav = (0, 1, -12) , podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial desses vetores:
n = sigmau times sigmav
Vamos calcular:
n = i & j & k 1 & 0 & 0 0 & 1 & -12 = i(0 times -12 - 0 times 1) - j(1 times -12 - 0 times 0) + k(1 times 1 - 0 times 0)
n = (0)i - (-12)j + (1)k = (0, 12, 1)

Passo 6

Agora que temos o vetor normal n = (0, 12, 1) e conhecemos um ponto P = (12, 14, 1516) no plano tangente, podemos usar a equação geral do plano:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) e r0 = (12, 14, 1516) .
Substituindo os valores:
(0, 12, 1) cdot (x - 12, y - 14, z - 1516) = 0
Calculando o produto escalar:
0 cdot (x - 12) + 12 cdot (y - 14) + 1 cdot (z - 1516) = 0
Simplificando:
12(y - 14) + (z - 1516) = 0
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
(y - 14) + 2(z - 1516) = 0
Distribuindo:
y - 14 + 2z - 3016 = 0
Simplificando frações:
y + 2z - 14 - 158 = 0 implies y + 2z - 178 = 0
Rearranjando:
y + 2z = 178

Resposta

O plano tangente à superfície S no ponto sigma(12, 14) é dado por:
y + 2z = 178

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