Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma superfície definida por uma parametrização, ou seja, uma forma de representar cada ponto na superfície usando dois parâmetros, e . O enunciado quer que a gente encontre o plano tangente a essa superfície no ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o plano tangente a uma superfície parametrizada. Isso envolve entender derivadas parciais e vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície:
Isso significa que para cada par de valores e , temos um ponto na superfície .
Passo 3
O ponto em questão é . Vamos calcular as coordenadas desse ponto substituindo e na parametrização:
Então, o ponto é .
Passo 4
Para encontrar o plano tangente, precisamos determinar dois vetores tangentes à superfície no ponto dado. Esses vetores são obtidos calculando as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, vamos calcular (derivada parcial em relação a ):
Agora, calculamos (derivada parcial em relação a ):
No ponto :
Passo 5
Com os vetores tangentes e , podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial desses vetores:
Vamos calcular:
n = (0)i - (-12)j + (1)k = (0, 12, 1)
Passo 6
Agora que temos o vetor normal n = (0, 12, 1) e conhecemos um ponto P = (12, 14, 1516) no plano tangente, podemos usar a equação geral do plano: