Encontre valores aproximados para as raízes abaixo:
4.3) raiz[4]13

Passo 1

O exercício pede pra gente encontrar uma aproximação de raiz[4]13. O conteúdo envolve radicais e métodos numéricos. Vamos reescrever o radical como solução da equação x^4 = 13 e usar o método de Newton pra achar um valor aproximado.

Passo 2

Como 1^4 = 1 < 13 < 16 = 2^4, sabemos que raiz[4]13 está entre 1 e 2. Vamos usar o chute inicial x0 = 2 no método de Newton.

Passo 3

Definimos f(x) = x^4 - 13 e sua derivada f'(x) = 4x^3. A fórmula do método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

Passo 4

Primeira iteração: para x0 = 2 temos f(2) = 2^4 - 13 = 3 e f'(2) = 4 cdot 2^3 = 32. Então
x1 = 2 - 332 = 6132 approx 1.90625

Passo 5

Segunda iteração: com x1 approx 1.90625, calculamos f(x1) approx (1.90625)^4 - 13 approx 0.205 e f'(x1) approx 4 cdot (1.90625)^3 approx 27.708. Logo
x2 = 1.90625 - 0.20527.708 approx 1.89885

Passo 6

Terceira iteração (opcional para maior precisão): com x2 approx 1.89885 obtemos (1.89885)^4 - 13 approx 0.011 e 4 cdot (1.89885)^3 approx 27.384. Assim
x3 = 1.89885 - 0.01127.384 approx 1.89845

Passo 7

Verificamos que (1.89845)^4 approx 13.000, o que confirma a precisão da aproximação.

Resposta

raiz[4]13 approx 1.89845

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