Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
y=4raiz9-x^2

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: queremos achar a derivada de
y = 4raiz9 - x^2
O conteúdo é derivada de funções compostas (regra da cadeia) e derivada de potência.

Passo 2

Reescrever a função de forma que fique explícita a potência negativa:
y = 4,(9 - x^2)^-tfrac12
Isso facilita aplicar a regra da potência.

Passo 3

Derivar a parte externa: considere u = 9 - x^2 e a função externa g(u) = u^-1/2. A derivada de g(u) em relação a u é
g'(u) = -tfrac12,u^-3/2

Passo 4

Derivar a parte interna: u = 9 - x^2. Logo
u' = ddx(9 - x^2) = -2x

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia e incluir o fator 4 que estava fora:
y' = 4 cdot g'(u) cdot u' = 4 cdot l(-tfrac12,(9 - x^2)^-3/2r) cdot (-2x)

Passo 6

Simplificar os constantes e os sinais: -tfrac12)cdot(-2x)=x. Então
y' = 4x,(9 - x^2)^-3/2 = 4x(9 - x^2)^3/2

Passo 7

Este é o resultado final da derivada após simplificação.

Resposta

y' = dfrac4x(9 - x^2)^3/2

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