Verifique se a igualdade \sin 4 x-\sin 3 x \cos x=\sin x \cos 3 x é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
\sin(4x)\;-\;\sin(3x)\cos(x)\;=\;\sin(x)\cos(3x)
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar a fórmula da soma de ângulos para o seno:
\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta).

Passo 2

Aplicando essa fórmula em \sin(4x) como \sin(3x+x), temos
\sin(4x)=\sin(3x+x)=\sin(3x)\cos(x)+\cos(3x)\sin(x).

Passo 3

Agora basta subtrair \sin(3x)\cos(x) de ambos os lados:
\sin(4x)-\sin(3x)\cos(x) =\bigl[\sin(3x)\cos(x)+\cos(3x)\sin(x)\bigr]-\sin(3x)\cos(x) =\cos(3x)\sin(x),
e \cos(3x)\sin(x)=\sin(x)\cos(3x), que é exatamente o lado direito da igualdade original.

Resposta

A igualdade é verdadeira.

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