Encontre os valores extremos da função f(x, y)=x^2+y^2 sujeita à restrição x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores extremos da função f(x,y)=x^2+y^2 no disco fechado definido por x^2+y^2<=1. O conteúdo é otimização com restrição (domínio fechado). Vamos precisar estudar pontos críticos no interior e na fronteira para comparar valores.

Passo 2

No interior do domínio a restrição não bate, ou seja, podemos procurar pontos críticos livres. Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y) = (2x,2y)
Para ponto crítico livre, exigimos nabla f=0, o que dá o sistema:
nabla f(x,y)=(2x,2y)=(0,0) implies x=0,;y=0
Esse ponto está no disco porque 0^2+0^2=0<=1.

Passo 3

Na fronteira x^2+y^2=1 usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos g(x,y)=x^2+y^2-1=0 e montamos:
2x = lambdacdot 2x, 2y = lambdacdot 2y, x^2+y^2=1
Das duas primeiras equações temos ou x=y=0 (impossível na fronteira) ou lambda=1. Logo todo ponto satisfazendo x^2+y^2=1 é candidato na fronteira.

Passo 4

Agora avaliamos f nesses candidatos: no interior, f(0,0)=0. Na fronteira, para todo (x,y) com x^2+y^2=1 vale
f(x,y)=x^2+y^2=1

Passo 5

Comparando os valores obtidos vemos que o menor valor de f no disco é 0 (em (0,0)) e o maior é 1 (em todos os pontos da circunferência x^2+y^2=1).

Resposta

Mínimo de f vale 0 em (0,0). Máximo de f vale 1 em todos os pontos que satisfazem x^2+y^2=1.

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