Encontre os valores extremos da função sujeita à restrição .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores extremos da função no disco fechado definido por . O conteúdo é otimização com restrição (domínio fechado). Vamos precisar estudar pontos críticos no interior e na fronteira para comparar valores.
Passo 2
No interior do domínio a restrição não bate, ou seja, podemos procurar pontos críticos livres. Calculamos o gradiente de :
Para ponto crítico livre, exigimos , o que dá o sistema:
Esse ponto está no disco porque .
Passo 3
Na fronteira usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos e montamos:
Das duas primeiras equações temos ou x=y=0 (impossível na fronteira) ou lambda=1. Logo todo ponto satisfazendo x^2+y^2=1 é candidato na fronteira.
Passo 4
Agora avaliamos f nesses candidatos: no interior, f(0,0)=0. Na fronteira, para todo (x,y) com x^2+y^2=1 vale
f(x,y)=x^2+y^2=1
Passo 5
Comparando os valores obtidos vemos que o menor valor de f no disco é 0 (em (0,0)) e o maior é 1 (em todos os pontos da circunferência x^2+y^2=1).
Resposta
Mínimo de f vale 0 em (0,0). Máximo de f vale 1 em todos os pontos que satisfazem x^2+y^2=1.