Encontre os valores de
de forma que a função
seja solução da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de
que fazem com que a função
seja uma solução da equação diferencial
. Isso está dentro da área de equações diferenciais, especificamente envolvendo equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar substituir
na equação e encontrar os valores de
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
. Sabemos que
, então a primeira derivada em relação a
é:
E a segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Perceba que todos os termos têm
em comum. Podemos fatorar isso:
Como
nunca é zero para nenhum valor real de
, a equação só será satisfeita se o fator dentro dos parênteses for zero:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática em
:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação
, as soluções são:
Aqui,
,
e
.
Passo 6
Calculando o discriminante (
):
Como
, teremos duas soluções reais distintas.
Passo 7
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as duas soluções são:
Resposta
Os valores de
que tornam
uma solução da equação diferencial são
e
.