Encontre os valores de m de forma que a função y=e^mt seja solução da equação diferencial
y^prime prime+y^prime-6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de m que fazem com que a função y = e^mt seja uma solução da equação diferencial y'' + y' - 6y = 0 . Isso está dentro da área de equações diferenciais, especificamente envolvendo equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar substituir y na equação e encontrar os valores de m que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de y . Sabemos que y = e^mt , então a primeira derivada em relação a t é:
y' = ddt e^mt = m e^mt
E a segunda derivada é:
y'' = ddt y' = ddt (m e^mt) = m^2 e^mt

Passo 3

Agora, vamos substituir y , y' e y'' na equação diferencial dada:
y'' + y' - 6y = 0
Substituindo:
m^2 e^mt + m e^mt - 6 e^mt = 0

Passo 4

Perceba que todos os termos têm e^mt em comum. Podemos fatorar isso:
e^mt (m^2 + m - 6) = 0
Como e^mt nunca é zero para nenhum valor real de t , a equação só será satisfeita se o fator dentro dos parênteses for zero:
m^2 + m - 6 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática em m :
m^2 + m - 6 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação am^2 + bm + c = 0 , as soluções são:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 1 e c = -6 .

Passo 6

Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) = 1 + 24 = 25
Como De<a > 0 , teremos duas soluções reais distintas.

Passo 7

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
m = -1 pm raiz252 cdot 1 = -1 pm 52
Então, as duas soluções são:
m = -1 + 52 = 42 = 2
m = -1 - 52 = -62 = -3

Resposta

Os valores de m que tornam y = e^mt uma solução da equação diferencial são m = 2 e m = -3 .

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