Use indução sobre n natural para demonstrar os seguintes fatos:
7^n-1 é divisível por 6 .

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre ninN, que
7^n-1
é divisível por 6.
O que vamos usar aqui é o princípio da indução matemática aplicado a propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Base da indução ( n=1).
Para n=1 temos
7^1-1 = 7 - 1 = 6,
e claramente 6 é divisível por 6. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que a propriedade seja verdadeira para n=k, isto é, suponha que
7^k-1
é divisível por 6.
Em termos de divisibilidade, existe um inteiro m tal que
7^k-1 = 6m

Passo 4

Mostramos que então a propriedade vale para n=k+1. Começamos escrevendo
7^k+1-1 = 7cdot 7^k - 1
Agora reorganizamos:
7^k+1-1 = 7,(7^k-1) + (7 - 1)
7^k+1-1 = 7,(7^k-1) + 6
Pela hipótese de indução temos 7^k-1 = 6m, então
7^k+1-1 = 7,(6m) + 6 = 6,(7m) + 6 = 6,(7m + 1),
que é múltiplo de 6. Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, 7^n-1 é divisível por 6 para todo ninN.

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