Encontre os valores de k com os quais A é invertível
A=[cck-3 & -2 -2 & k-2]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de k tais que a matriz
A = k-3 & -2 -2 & k-2
é invertível. O que precisamos aqui é usar o conceito de que uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Calculamos o determinante de A aplicando a regra do produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária:
det(A) = (k-3)(k-2) - (-2)cdot(-2)

Passo 3

Simplificando a expressão:
det(A) = (k-3)(k-2) - 4 = k^2 -5k +6 -4 = k^2 -5k +2

Passo 4

Para A ser invertível queremos det(A)neq 0. Primeiro achamos as raízes de
k^2 -5k +2 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
k = 5 pm raiz25 - 82 = 5 pm raiz172

Passo 5

Portanto, a única forma de det(A) anular é quando
k = 5 - raiz172 ou k = 5 + raiz172
Logo, para todos os outros valores de k temos det(A)neq 0 e a matriz é invertível.

Resposta

A matriz A é invertível para
k in Rsetminus ltfrac5 - raiz172,,tfrac5 + raiz172r

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