Encontre os valores dos limites (podem não existir):
lim (x, y) (0,0) x^3 y^3x^6+2 y^6

Passo 1

O enunciado pede o limite de
x^3y^3x^6+2y^6
quando (x,y)to(0,0). Isso é um problema de limites em várias variáveis. Para verificar existência de limite, vamos testar diferentes trajetórias de aproximação a (0,0).

Passo 2

Considere a aproximação pela reta y=mx, com m constante. Substituindo em x^3y^3x^6+2y^6 temos
x^3(m x)^3x^6+2(m x)^6 =m^3x^6x^6+2m^6x^6 =m^3x^6x^6(1+2m^6) =m^31+2m^6
Esse valor não depende de x e é a “candidata” a valor do limite ao longo dessa reta.

Passo 3

Para m=0 (reta y=0) o limite vale
0^31+2cdot0^6=0
Para m=1 (reta y=x) o limite vale
1^31+2cdot1^6=13
Como ao longo de duas trajetórias obtemos valores diferentes ( 0 e tfrac13), não pode existir um único valor para o limite.

Resposta

O limite não existe.

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