encontre valores de m para que y=x^{m} seja uma solução para cada equação diferencial.
x^{2} y^{\prime \prime}-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que a função y=x^{m} seja solução da equação diferencial
x^{2}y''-5y=0.
Este tipo de equação é uma equação de Euler–Cauchy, para a qual adotamos a forma y=x^{m} e descobrimos quais m satisfazem a equação.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y=x^{m}:
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.

Passo 3

Substituímos y e y'' na equação x^{2}y''-5y=0:
x^{2}\bigl[m(m-1)\,x^{m-2}\bigr]-5\,x^{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad m(m-1)\,x^{m}-5\,x^{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl[m(m-1)-5\bigr]x^{m}=0.
Como x^{m}\neq0 para x\neq0, exige-se
m(m-1)-5=0.

Passo 4

Resolvemos a equação algébrica
m^{2}-m-5=0
pela fórmula de Bhaskara:
m=\frac{1\pm\sqrt{1+20}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}.

Resposta

Os valores de m são
m=\frac{1+\sqrt{21}}{2} \quad\text{e}\quad m=\frac{1-\sqrt{21}}{2}.

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