Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes.)
y=x^{2}+\frac{c_{1}}{x}+c_{2} x ; x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado quer checar se a função
y = x^{2} + \frac{c_{1}}{x} + c_{2}\,x
é solução da equação de Euler–Cauchy
x^{2}y'' + x\,y' - y = 0.
Para isso, vamos derivar y e substituir na equação diferencial.

Passo 2

Derivando em relação a x, temos
y' = 2x - c_{1}\,x^{-2} + c_{2},
y'' = 2 + 2\,c_{1}\,x^{-3}.

Passo 3

Substituímos em cada termo de x^{2}y'' + x\,y' - y:
x^{2}y'' = x^{2}\bigl(2 + 2\,c_{1}\,x^{-3}\bigr) = 2\,x^{2} + 2\,c_{1}\,x^{-1},
x\,y' = x\bigl(2x - c_{1}\,x^{-2} + c_{2}\bigr) = 2\,x^{2} - c_{1}\,x^{-1} + c_{2}\,x,
x^{2}y'' + x\,y' = 4\,x^{2} + c_{1}\,x^{-1} + c_{2}\,x,
x^{2}y'' + x\,y' - y = \bigl(4\,x^{2} + c_{1}\,x^{-1} + c_{2}\,x\bigr) - \bigl(x^{2} + c_{1}\,x^{-1} + c_{2}\,x\bigr) = 3\,x^{2}.

Passo 4

O resultado da substituição é 3x^{2}, que não se anula para x\neq0. Logo, a função dada não satisfaz
x^{2}y'' + x\,y' - y = 0.

Resposta

A função não é solução da equação diferencial.

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