Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes.)
y=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x ; y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = c_{1} \cos x + c_{2} \sin x
é solução da equação diferencial homogênea de segunda ordem
y'' + y = 0,
onde c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias. Vamos usar cálculo de derivadas e substituição na equação para confirmar.

Passo 2

Primeiro, calculamos a primeira derivada de y. Como \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x e \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x, temos
y' = \frac{d}{dx}\bigl(c_{1}\cos x + c_{2}\sin x\bigr) = c_{1}(-\sin x) + c_{2}\cos x = -c_{1}\sin x + c_{2}\cos x.

Passo 3

Em seguida, calculamos a segunda derivada. Derivando y' temos
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(-c_{1}\sin x + c_{2}\cos x\bigr) = -c_{1}\cos x - c_{2}\sin x.

Passo 4

Agora substituímos y e y'' na equação y'' + y = 0:
y'' + y = \bigl(-c_{1}\cos x - c_{2}\sin x\bigr) + \bigl(c_{1}\cos x + c_{2}\sin x\bigr).
Ao agrupar termos iguais, obtemos
(-c_{1}\cos x + c_{1}\cos x) + (-c_{2}\sin x + c_{2}\sin x) = 0 + 0 = 0.

Resposta

A soma y'' + y é identicamente zero, logo
y = c_{1}\cos x + c_{2}\sin x
é solução da equação diferencial y'' + y = 0.

Exercícios relacionados