Encontre valores de m para que y=x^{m} seja umasolução da EDO linear
x^{2} y^{\prime \prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede encontrar os valores de m tais que a função y=x^{m} seja solução da equação de Euler-Cauchy
x^{2}y''-y=0.
Esse tipo de equação admite solução na forma y=x^{m}, então vamos usar esse palpite para obter uma condição sobre m.

Passo 2

Assumindo y=x^{m}, temos as derivadas
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação,
x^{2}y'' - y = x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) - x^{m} = m(m-1)\,x^{m} - x^{m} = \bigl[m(m-1)-1\bigr]\,x^{m}.
Para que isso seja zero para x\neq0, exige-se
m(m-1)-1=0.

Passo 3

A equação característica é
m^{2}-m-1=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
m = \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.

Resposta

m = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad\text{ou}\quad m = \frac{1-\sqrt{5}}{2}.

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