1. Seja F(x, y, z)=z tg^-1(y^2) i+z^3 ln (x^2+1) j+z k. Determine o fluxo de F através da parte do paraboloide x^2+y^2+z-2 que está acima do plano z=1 e está orientada para baixo.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=zarctanl(y^2r),i+z^3lnl(x^2+1r),j+z,k
e a superfície S é a parte do paraboloide
x^2+y^2+z-2=0Longrightarrow z=2-(x^2+y^2)
acima do plano z=1, ou seja, o disco x^2+y^2<=1, com orientação para baixo.
Para calcular o fluxo
integral duplaSFcdotn,dS
vamos usar parametrização em x,y, obter o vetor normal orientado para baixo e integrar em coordenadas cartesianas (depois em polares), explorando simetria.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y)=(x,;y,;2-x^2-y^2),
com (x,y) em D=(x,y)mid x^2+y^2<=1.
Calculamos
rx=(1,0,-2x), ry=(0,1,-2y),
então
rxtimesry=(2x,,2y,,1),
que aponta para cima. Como queremos orientação para baixo, tomamos
n,dS=-l(rxtimesryr),dx,dy =(-2x,,-2y,,-1),dx,dy

Passo 3

No paraboloide z=2-x^2-y^2 temos
Fl(r(x,y)r) =l(2-x^2-y^2r)arctan(y^2),i +l(2-x^2-y^2r)^3ln(x^2+1),j +l(2-x^2-y^2r),k
O produto escalar é
Fcdotn =-2x,(2-x^2-y^2)arctan(y^2) -2y,(2-x^2-y^2)^3ln(x^2+1) -l(2-x^2-y^2r)
Logo o fluxo é
integral duplaDFcdotn,dx,dy

Passo 4

Observe que as duas primeiras parcelas são funções ímpares em x ou em y e D é simétrico, então
integral duplaD-2x,(2-x^2-y^2)arctan(y^2),dx,dy=0, integral duplaD-2y,(2-x^2-y^2)^3ln(x^2+1),dx,dy=0
Só sobra a parcela simétrica
-integral duplaD(2-x^2-y^2),dx,dy

Passo 5

Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta) com 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi, temos
integral duplaD(2-r^2),dx,dy =integral0^2pi!integral0^1(2-r^2),r,dr,dtheta =2piintegral0^1(2r-r^3),dr =2pil[ r^2-tfracr^44r]0^1 =2pil(1-tfrac14r) =tfrac3pi2
Como havia o sinal negativo em frente, o fluxo é
-tfrac3pi2

Resposta

-3pi2

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