- Seja
. Determine
fluxo de
através da parte do paraboloide
que está acima do plano
e está orientada para baixo.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a superfície
é a parte do paraboloide
acima do plano
, ou seja, o disco
, com orientação para baixo.
Para calcular o fluxo
Para calcular o fluxo
vamos usar parametrização em
, obter o vetor normal orientado para baixo e integrar em coordenadas cartesianas (depois em polares), explorando simetria.
Passo 2
Parametrizamos
por
com
em
.
Calculamos
Calculamos
então
que aponta para cima. Como queremos orientação para baixo, tomamos
Passo 3
No paraboloide
temos
O produto escalar é
Logo o fluxo é
Passo 4
Observe que as duas primeiras parcelas são funções ímpares em
ou em
e
é simétrico, então
Só sobra a parcela simétrica
Passo 5
Em coordenadas polares
com
, temos
Como havia o sinal negativo em frente, o fluxo é