Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
h(x)=|x-4|+2 ;[-10,20].

Passo 1

O enunciado dá a função h e o intervalo:
  • Função: h(x)=|x-4|+2.
  • Intervalo fechado: [-10,20].
O que se pede:
  • Encontrar o valor mínimo de h em [-10,20] (se existir) e onde ele ocorre.
  • Encontrar o valor máximo de h em [-10,20] (se existir) e onde ele ocorre.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função usa valor absoluto |x-4|.
  • O intervalo é fechado e limitado [-10,20], logo uma função contínua nele atinge máximo e mínimo (teorema dos extremos). Vamos verificar continuidade e examinar os pontos que podem ser candidatos a extremos (pontos onde a expressão muda, extremos do intervalo e pontos críticos).

Passo 2

Entender o valor absoluto e reescrever a função sem o símbolo [|\cdot|).
Definição útil do valor absoluto:
|u|= \begin{cases} -u, & \text{se } u<0,\\[4pt] u, & \text{se } u\ge 0. \end{cases}
Aplicando com u=x-4\], obtemos \[|x-4|= \begin{cases} -(x-4), & \text{se } x<4,\\[4pt] x-4, & \text{se } x\ge 4. \end{cases}\] Agora substituímos em \(h(x)=|x-4|+2 para escrever h de forma piecewise:
h(x)= \begin{cases} -(x-4)+2, & x<4,\\[4pt] (x-4)+2, & x\ge 4. \end{cases}
Simplificando cada ramo:
h(x)= \begin{cases} -x+6, & x<4,\\[4pt] x-2, & x\ge 4. \end{cases}]

Passo 3

Verificar continuidade em x=4 e comportamento dos ramos.
Calcular os valores de ambos os ramos em x=4:
\text{Para } x\to 4^-:\\\ -x+6 \to -4+6=2.
\text{Para } x\to 4^+:\\ x-2 \to 4-2=2.
Como ambos dão 2 em x=4, a função é contínua em x=4. Logo h é contínua em todo [-10,20] (pois cada ramo é linear e contínuo e coincidem em 4). Pelo teorema dos extremos, h atinge máximo e mínimo no intervalo fechado.
Observação sobre monotonicidade dos ramos:
  • No ramo x<4, h(x)=-x+6 é uma reta de coeficiente angular -1, portanto estritamente decrescente quando x aumenta.
  • No ramo x\ge 4, h(x)=x-2 é uma reta de coeficiente angular 1, portanto estritamente crescente quando x aumenta.
Isso significa intuitivamente que, na esquerda do ponto 4, h diminui ao nos aproximarmos de 4, e na direita de 4 ela aumenta ao nos afastarmos de 4.

Passo 4

Determinar os candidatos a extremos no intervalo [-10,20].
Para funções piecewise lineares como esta, os pontos a verificar são:
  • Ponto de junção x=4.
  • Extremidades do intervalo x=-10 e x=20.
    Não há outros pontos críticos (derivada constante em cada ramo). Então avaliaremos h nesses três pontos.

Passo 5

Calcular h nos pontos candidatos.
Calcular em x=-10:
h(-10)=|-10-4|+2=|{-14}|+2=14+2=16.
Calcular em x=4:
h(4)=|4-4|+2=0+2=2.
(Calculado também pelos ramos: -4+6=2 e 4-2=2, consistente.)
Calcular em x=20:
h(20)=|20-4|+2=|16|+2=16+2=18.

Passo 6

Comparar os valores obtidos para decidir máximo e mínimo.
Os valores foram:
  • h(-10)=16.
  • h(4)=2.
  • h(20)=18.
O menor valor entre esses é 2, que ocorre em x=4. O maior valor entre esses é 18, que ocorre em x=20.
Portanto, no intervalo [-10,20]:
  • Mínimo: 2 em x=4.
  • Máximo: 18 em x=20.

Resposta

Mínimo: 2 em x=4
Máximo: 18 em x=20

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