Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo:
- Função:
. - Intervalo fechado:
.
O que se pede:
- Encontrar o valor mínimo de
em (se existir) e onde ele ocorre. - Encontrar o valor máximo de
em (se existir) e onde ele ocorre.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função usa valor absoluto
. - O intervalo é fechado e limitado
, logo uma função contínua nele atinge máximo e mínimo (teorema dos extremos). Vamos verificar continuidade e examinar os pontos que podem ser candidatos a extremos (pontos onde a expressão muda, extremos do intervalo e pontos críticos).
Passo 2
Entender o valor absoluto e reescrever a função sem o símbolo [|\cdot|).
Definição útil do valor absoluto:
Aplicando com
para escrever
de forma piecewise:
Simplificando cada ramo:
Passo 3
Verificar continuidade em
e comportamento dos ramos.
Calcular os valores de ambos os ramos em
:
Como ambos dão
em
, a função é contínua em
. Logo
é contínua em todo
(pois cada ramo é linear e contínuo e coincidem em
). Pelo teorema dos extremos,
atinge máximo e mínimo no intervalo fechado.
Observação sobre monotonicidade dos ramos:
- No ramo
, é uma reta de coeficiente angular , portanto estritamente decrescente quando aumenta. - No ramo
, é uma reta de coeficiente angular , portanto estritamente crescente quando aumenta.
Isso significa intuitivamente que, na esquerda do ponto
,
diminui ao nos aproximarmos de
, e na direita de
ela aumenta ao nos afastarmos de
.
Passo 4
Determinar os candidatos a extremos no intervalo
.
Para funções piecewise lineares como esta, os pontos a verificar são:
- Ponto de junção
. - Extremidades do intervalo
e .
Não há outros pontos críticos (derivada constante em cada ramo). Então avaliaremosnesses três pontos.
Passo 5
Calcular
nos pontos candidatos.
Calcular em
:
Calcular em
:
(Calculado também pelos ramos:
e
, consistente.)
Calcular em :
Calcular em
Passo 6
Comparar os valores obtidos para decidir máximo e mínimo.
Os valores foram:
-
. -
. -
.
O menor valor entre esses é
, que ocorre em
. O maior valor entre esses é
, que ocorre em
.
Portanto, no intervalo
:
- Mínimo:
em . - Máximo:
em .
Resposta
Mínimo:
em
Máximo: em
Máximo: