Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função
no intervalo fechado
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo onde procurar extremos é
.
As perguntas são: existe mínimo no intervalo? existe máximo no intervalo? Em caso afirmativo, quais são os pontos e os valores?
Passo 2
Observações iniciais importantes (conceito usado): em um intervalo fechado e limitado, uma função contínua atinge máximo e mínimo (Teorema do valor extremo). Então primeiro verificamos se
é contínua em
.
A função
é formada por duas operações: somar
e elevar à potência
. A potência
corresponde a fazer a raiz cúbica seguida de elevação ao quadrado (ou elevar ao quadrado e depois extrair a raiz cúbica). A raiz cúbica é definida para todo número real, e ao quadrado o resultado é não negativo. Portanto
é bem definida e contínua para todo
, em particular no intervalo
. Logo um máximo e um mínimo existem.
Passo 3
Estratégia para achar extremos (conceito usado): em intervalos fechados, os candidatos a extremos são
- pontos críticos, isto é pontos onde a derivada existe e é zero, ou onde a derivada não existe; e
- os endpoints do intervalo.
Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra da cadeia e a regra de potência para expoentes racionais: se
então
. Aplicando com
obtemos
Explicando o que isso significa:
. A derivada existe sempre que o denominador
for diferente de zero, ou seja, para todo
. Em
temos divisão por zero na expressão da derivada, o que indica que a derivada não existe naquele ponto (geometricamente há um “canto” ou cúspide).
Agora procuramos pontos onde
ou onde
não existe:
- Resolver
dá . Como o fator não é zero e nunca é zero (uma potência negativa não dá zero), não existe solução. Portanto não há pontos com derivada zero. - A derivada não existe em
. Esse é um ponto crítico (porque indefinida lá) e pertence ao intervalo . Então os candidatos a extremos no intervalo são: (extremo esquerdo), (ponto crítico), e (extremo direito).
Passo 4
Vamos avaliar
nesses pontos (aqui faço uma pequena lição sobre manipular potências fracionárias com sinais):
- Cálculo de
:
Para interpretar
é útil ver como proceder:
. A raiz cúbica de
é
, e
. Portanto
- Cálculo de
:
- Cálculo de
:
Podemos escrever
ou
(porque
então
). Como valor aproximado,
Passo 5
Comparando os valores encontrados:
Observações adicionais sobre monotonicidade (ajuda a entender por que
é mínimo): como
, para
o fator
é negativo, logo
em
(função decresce), e para
temos
em
(função cresce). Assim o ponto
é um mínimo local e, pelos valores, também é o mínimo global no intervalo.
Portanto:
- O menor valor de
em é em . - O maior valor de
em é (ou , ou ) em .
Resposta
Mínimo:
atingido em
Máximo: atingido em
Máximo: