Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
h(x)=(x+2)^{2 / 3} ;[-3,2].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função h(x)=(x+2)^{2/3} no intervalo fechado [-3,2].
Informações dadas:
  • A função é h(x)=(x+2)^{2/3}.
  • O intervalo onde procurar extremos é [-3,2].
    As perguntas são: existe mínimo no intervalo? existe máximo no intervalo? Em caso afirmativo, quais são os pontos e os valores?

Passo 2

Observações iniciais importantes (conceito usado): em um intervalo fechado e limitado, uma função contínua atinge máximo e mínimo (Teorema do valor extremo). Então primeiro verificamos se h é contínua em [-3,2].
A função h(x)=(x+2)^{2/3} é formada por duas operações: somar 2 e elevar à potência 2/3. A potência 2/3 corresponde a fazer a raiz cúbica seguida de elevação ao quadrado (ou elevar ao quadrado e depois extrair a raiz cúbica). A raiz cúbica é definida para todo número real, e ao quadrado o resultado é não negativo. Portanto h é bem definida e contínua para todo x\in\mathbb{R}, em particular no intervalo [-3,2]. Logo um máximo e um mínimo existem.

Passo 3

Estratégia para achar extremos (conceito usado): em intervalos fechados, os candidatos a extremos são
  1. pontos críticos, isto é pontos onde a derivada existe e é zero, ou onde a derivada não existe; e
  2. os endpoints do intervalo.
Vamos calcular a derivada de h. Usamos a regra da cadeia e a regra de potência para expoentes racionais: se g(x)=(x+2)^{\alpha} então g'(x)=\alpha(x+2)^{\alpha-1}. Aplicando com \alpha=\tfrac{2}{3} obtemos
h'(x)=\frac{2}{3}(x+2)^{-1/3}.
Explicando o que isso significa: (x+2)^{-1/3}=\dfrac{1}{(x+2)^{1/3}}. A derivada existe sempre que o denominador (x+2)^{1/3} for diferente de zero, ou seja, para todo x\neq -2. Em x=-2 temos divisão por zero na expressão da derivada, o que indica que a derivada não existe naquele ponto (geometricamente há um “canto” ou cúspide).
Agora procuramos pontos onde h'(x)=0 ou onde h' não existe:
  • Resolver h'(x)=0 \dfrac{2}{3}(x+2)^{-1/3}=0. Como o fator \dfrac{2}{3} não é zero e (x+2)^{-1/3} nunca é zero (uma potência negativa não dá zero), não existe solução. Portanto não há pontos com derivada zero.
  • A derivada não existe em x=-2. Esse é um ponto crítico (porque h' indefinida lá) e pertence ao intervalo [-3,2]. Então os candidatos a extremos no intervalo são: x=-3 (extremo esquerdo), x=-2 (ponto crítico), e x=2 (extremo direito).

Passo 4

Vamos avaliar h nesses pontos (aqui faço uma pequena lição sobre manipular potências fracionárias com sinais):
  • Cálculo de h(-3):
h(-3)=(-3+2)^{2/3}=(-1)^{2/3}.
Para interpretar (-1)^{2/3} é útil ver como proceder: (-1)^{2/3}=\bigl((-1)^{1/3}\bigr)^{2}. A raiz cúbica de -1 é -1, e (-1)^2=1. Portanto
h(-3)=1.
  • Cálculo de h(-2):
h(-2)=(-2+2)^{2/3}=0^{2/3}=0.
  • Cálculo de h(2):
h(2)=(2+2)^{2/3}=4^{2/3}.
Podemos escrever 4^{2/3}=(4^{1/3})^2=\sqrt[3]{4}^{\,2} ou 4^{2/3}=2^{4/3} (porque 4=2^2 então 4^{2/3}=(2^2)^{2/3}=2^{4/3}). Como valor aproximado,
4^{2/3}=\sqrt[3]{16}\approx 2,52.

Passo 5

Comparando os valores encontrados:
h(-3)=1,\qquad h(-2)=0,\qquad h(2)=4^{2/3}\approx 2,52.
Observações adicionais sobre monotonicidade (ajuda a entender por que x=-2 é mínimo): como h'(x)=\dfrac{2}{3}(x+2)^{-1/3}, para x<-2 o fator (x+2)^{1/3} é negativo, logo h'(x)<0 em (-3,-2) (função decresce), e para x>-2 temos h'(x)>0 em (-2,2) (função cresce). Assim o ponto x=-2 é um mínimo local e, pelos valores, também é o mínimo global no intervalo.
Portanto:
  • O menor valor de h em [-3,2] é 0 em x=-2.
  • O maior valor de h em [-3,2] é 4^{2/3} (ou 2^{4/3}, ou \sqrt[3]{16}) em x=2.

Resposta

Mínimo: h_{\min}=0 atingido em x=-2
Máximo: h_{\max}=4^{2/3}=2^{4/3}\approx 2,52 atingido em x=2

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