Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo onde devemos procurar extremos:
- Função:
. - Intervalo:
.
O que foi pedido:
- Encontrar os valores máximo e mínimo de
no intervalo , se existirem.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação curta e amigável):
- A função
é contínua e diferenciável em todo , portanto em particular é contínua no intervalo fechado . Pelo Teorema de Weierstrass (que diz que uma função contínua em intervalo fechado atinge máximo e mínimo), sabemos que existem máximo e mínimo absolutos nesse intervalo. - Para encontrá-los na prática, usamos o procedimento padrão: calcular a derivada, achar pontos críticos (onde a derivada é zero ou indefinida) dentro do intervalo, e avaliar a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo. O maior desses valores será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Passo 3
Calcular a derivada de
e interpretar:
- Derivada de
é . Multiplicando pelo constante ,
- Interpretando: pontos onde
são candidatos a extremos porque ali a inclinação da curva é zero (topo ou fundo local).
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo
:
As soluções gerais de
são
, com
.
Agora selecionar as soluções que pertencem ao intervalo :
Agora selecionar as soluções que pertencem ao intervalo
- Para
: , que está em . - Para
: , que também está em . - Para
: , que está fora do intervalo.
Portanto os pontos críticos no intervalo sãoe .
Passo 5
Avaliar
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- Nas extremidades:
- Nos pontos críticos (usar valores conhecidos da função seno no círculo trigonométrico):
Passo 6
Comparar os valores encontrados e classificar:
- Valores avaliados:
em e , em , e em . - O maior valor é
em , logo é o máximo absoluto no intervalo. - O menor valor é
em , logo é o mínimo absoluto no intervalo.
(Opção extra de verificação rápida com segunda derivada:
. Em
tem-se
indicando máximo; em
tem-se
indicando mínimo — isto confirma a classificação.)
Resposta
Máximo:
Mínimo: