Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
g(t)=5 \operatorname{sen}(t) ;[-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado dá a função g e o intervalo onde devemos procurar extremos:
  • Função: g(t)=5\operatorname{sen}(t).
  • Intervalo: [-\pi,\pi].
O que foi pedido:
  • Encontrar os valores máximo e mínimo de g no intervalo [-\pi,\pi], se existirem.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação curta e amigável):
  • A função g(t)=5\operatorname{sen}(t) é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}, portanto em particular é contínua no intervalo fechado [-\pi,\pi]. Pelo Teorema de Weierstrass (que diz que uma função contínua em intervalo fechado atinge máximo e mínimo), sabemos que existem máximo e mínimo absolutos nesse intervalo.
  • Para encontrá-los na prática, usamos o procedimento padrão: calcular a derivada, achar pontos críticos (onde a derivada é zero ou indefinida) dentro do intervalo, e avaliar a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo. O maior desses valores será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.

Passo 3

Calcular a derivada de g e interpretar:
  • Derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t). Multiplicando pelo constante 5,
g'(t)=5\cos(t).
  • Interpretando: pontos onde g'(t)=0 são candidatos a extremos porque ali a inclinação da curva é zero (topo ou fundo local).

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo g'(t)=0:
g'(t)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 5\cos(t)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos(t)=0.
As soluções gerais de \cos(t)=0 são t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}.
Agora selecionar as soluções que pertencem ao intervalo [-\pi,\pi]:
  • Para k=0: t=\dfrac{\pi}{2}, que está em [-\pi,\pi].
  • Para k=-1: t=\dfrac{\pi}{2}-\pi=-\dfrac{\pi}{2}, que também está em [-\pi,\pi].
  • Para k=1: t=\dfrac{\pi}{2}+\pi=\dfrac{3\pi}{2}, que está fora do intervalo.
    Portanto os pontos críticos no intervalo são t=-\dfrac{\pi}{2} e t=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Avaliar g nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  • Nas extremidades: g(-\pi)=5\operatorname{sen}(-\pi)=5\cdot 0=0,
g(\pi)=5\operatorname{sen}(\pi)=5\cdot 0=0.
  • Nos pontos críticos (usar valores conhecidos da função seno no círculo trigonométrico): g\Bigl(-\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=5\operatorname{sen}\Bigl(-\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=5\cdot(-1)=-5,
g\Bigl(\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=5\operatorname{sen}\Bigl(\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=5\cdot 1=5.

Passo 6

Comparar os valores encontrados e classificar:
  • Valores avaliados: 0 em t=-\pi e t=\pi, -5 em t=-\dfrac{\pi}{2}, e 5 em t=\dfrac{\pi}{2}.
  • O maior valor é 5 em t=\dfrac{\pi}{2}, logo é o máximo absoluto no intervalo.
  • O menor valor é -5 em t=-\dfrac{\pi}{2}, logo é o mínimo absoluto no intervalo.
(Opção extra de verificação rápida com segunda derivada: g''(t)=-5\operatorname{sen}(t). Em t=\dfrac{\pi}{2} tem-se g''(\tfrac{\pi}{2})=-5<0 indicando máximo; em t=-\tfrac{\pi}{2} tem-se g''(-\tfrac{\pi}{2})=5>0 indicando mínimo — isto confirma a classificação.)

Resposta

Máximo: g\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=5
Mínimo: g\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-5

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