Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
g(x)=6-(x-2)^{4 / 3} ;[-1,4].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função
g(x)=6-(x-2)^{4/3}
no intervalo fechado [-1,4].
Informações dadas:
  • A função é g definida por g(x)=6-(x-2)^{4/3}.
  • O intervalo considerado é [-1,4].
  • A tarefa é determinar se existem máximo e mínimo absolutos no intervalo e, em caso afirmativo, onde ocorrem e quais são os valores.

Passo 2

Entender a expressão (x-2)^{4/3} e a regularidade de g.
Explicação didática do que significa (x-2)^{4/3}:
(x-2)^{4/3}=\big((x-2)^{1/3}\big)^{4},
ou seja, primeiro toma-se a raiz cúbica de x-2 (que existe para todo x\in\mathbb{R}), e depois eleva-se o resultado à quarta potência. Assim (x-2)^{4/3} é bem definida e não-negativa para todo x\in\mathbb{R}. Consequentemente g é definida em todo \mathbb{R} e, em particular, é contínua em [-1,4]. Como g é contínua num intervalo fechado e limitado, pelo Teorema do Valor Extremo, g atinge máximo e mínimo absolutos em [-1,4].

Passo 3

Procurar pontos candidatos a extremos: pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e os extremos do intervalo.
Calcular a derivada (aqui uso a regra da potência para expoente racional, válida porque a raiz cúbica é diferenciável e a composição é diferenciável):
g(x)=6-(x-2)^{4/3}\quad\Rightarrow\quad g'(x)=-\frac{4}{3}(x-2)^{1/3}.
Comentário sobre a derivada em x=2: Note que (x-2)^{1/3} é a raiz cúbica; em x=2 isso vale 0. O fator (x-2)^{1/3} tende a 0 quando x\to2, portanto g'(2)=0. A fórmula acima vale para todo x real com a interpretação da raiz cúbica real. Não há pontos onde a derivada deixe de existir (a raiz cúbica é diferenciável em todo lugar e a potência 4/3 com denominador ímpar mantém diferenciabilidade), portanto os pontos críticos vêm da equação
g'(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{4}{3}(x-2)^{1/3}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=2.
Assim o único ponto crítico em [-1,4] é x=2. Também devemos verificar os extremos do intervalo x=-1 e x=4.

Passo 4

Determinar monotonicidade para identificar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.
Observe o sinal de g'(x)=-\dfrac{4}{3}(x-2)^{1/3}:
  • Para x<2 temos (x-2)^{1/3}<0, logo g'(x)>0. Portanto g é crescente em [-1,2).
  • Para x>2 temos (x-2)^{1/3}>0, logo g'(x)<0. Portanto g é decrescente em (2,4].
Conclusão: em x=2 ocorre uma mudança de crescente para decrescente, logo x=2 é um ponto de máximo local — e, por monotonicidade no intervalo e pelo Teorema do Valor Extremo, é também o máximo absoluto em [-1,4].

Passo 5

Calcular os valores de g nos candidatos: x=-1, x=2, x=4.
Calculemos exatamente:
g(2)=6-(2-2)^{4/3}=6-0=6.
g(-1)=6-(-1-2)^{4/3}=6-(-3)^{4/3}.
Aqui pego ((-3){4/3}=\big((-3){1/3}\big){4}=\big(-3{1/3}\big){4}=3{4/3}=3\cdot 3^{1/3}.
\text{Portanto } g(-1)=6-3\cdot 3^{1/3}.
g(4)=6-(4-2)^{4/3}=6-2^{4/3}=6-2\cdot 2^{1/3}.
Se quiser aproximar numericamente (para ter noção dos valores):
3^{1/3}\approx 1{,}442249\quad\Rightarrow\quad g(-1)\approx 6-3\cdot1{,}442249\approx 1{,}673253.
2^{1/3}\approx 1{,}259921\quad\Rightarrow\quad g(4)\approx 6-2\cdot1{,}259921\approx 3{,}480158.)

Passo 6

Comparar os valores:
g(2)=6,\qquad g(4)=6-2\cdot 2^{1/3}\approx 3{,}480158,\qquad g(-1)=6-3\cdot 3^{1/3}\approx 1{,}673253.
O maior valor é g(2)=6. O menor valor é g(-1)=6-3\cdot 3^{1/3}. Assim o máximo absoluto ocorre em x=2 e o mínimo absoluto ocorre em x=-1.

Resposta

Máximo absoluto: g(2)=6 em x=2.
Mínimo absoluto: g(-1)=6-3\cdot 3^{1/3} em x=-1.

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