Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função
no intervalo fechado
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
definida por . - O intervalo considerado é
. - A tarefa é determinar se existem máximo e mínimo absolutos no intervalo e, em caso afirmativo, onde ocorrem e quais são os valores.
Passo 2
Entender a expressão
e a regularidade de
.
Explicação didática do que significa
:
ou seja, primeiro toma-se a raiz cúbica de
(que existe para todo
), e depois eleva-se o resultado à quarta potência. Assim
é bem definida e não-negativa para todo
. Consequentemente
é definida em todo
e, em particular, é contínua em
. Como
é contínua num intervalo fechado e limitado, pelo Teorema do Valor Extremo,
atinge máximo e mínimo absolutos em
.
Passo 3
Procurar pontos candidatos a extremos: pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e os extremos do intervalo.
Calcular a derivada (aqui uso a regra da potência para expoente racional, válida porque a raiz cúbica é diferenciável e a composição é diferenciável):
Comentário sobre a derivada em
: Note que
é a raiz cúbica; em
isso vale
. O fator
tende a
quando
, portanto
. A fórmula acima vale para todo
real com a interpretação da raiz cúbica real. Não há pontos onde a derivada deixe de existir (a raiz cúbica é diferenciável em todo lugar e a potência
com denominador ímpar mantém diferenciabilidade), portanto os pontos críticos vêm da equação
Assim o único ponto crítico em
é
. Também devemos verificar os extremos do intervalo
e
.
Passo 4
Determinar monotonicidade para identificar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.
Observe o sinal de
:
- Para
temos , logo . Portanto é crescente em . - Para
temos , logo . Portanto é decrescente em .
Conclusão: em
ocorre uma mudança de crescente para decrescente, logo
é um ponto de máximo local — e, por monotonicidade no intervalo e pelo Teorema do Valor Extremo, é também o máximo absoluto em
.
Passo 5
Calcular os valores de
nos candidatos:
,
,
.
Calculemos exatamente:
Aqui pego ((-3){4/3}=\big((-3){1/3}\big){4}=\big(-3{1/3}\big){4}=3{4/3}=3\cdot 3^{1/3}.
Se quiser aproximar numericamente (para ter noção dos valores):
Passo 6
Comparar os valores:
O maior valor é
. O menor valor é
. Assim o máximo absoluto ocorre em
e o mínimo absoluto ocorre em
.
Resposta
Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto: em
.
Mínimo absoluto: