Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
h(x)=|x-4|+2 ;(-10,20).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função h(x)=|x-4|+2 no intervalo (-10,20), se esses extremos existirem.
Informações dadas:
  • A função é h(x)=|x-4|+2.
  • O domínio de interesse é o intervalo aberto (-10,20) (os pontos -10 e 20 não pertencem ao intervalo).
    As perguntas são: existe mínimo? existe máximo? — e, se existirem, quais são os pontos onde ocorrem e os respectivos valores.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto: para qualquer número real u\), \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
No nosso caso u=x-4\]. Isso nos permite escrever \(h sem a barra de valor absoluto, em duas expressões diferentes dependendo de x.]

Passo 3

Reescrevendo h em forma peça a peça usando o caso de x-4:
  • Se x\ge 4, então |x-4|=x-4 e
h(x)=|x-4|+2=x-4+2=x-2.
  • Se x\le 4, então |x-4|=4-x e
h(x)=4-x+2=6-x.
Resumo (peça a peça):
h(x)=\begin{cases} 6-x, & x\le 4,\\[4pt] x-2, & x\ge 4. \end{cases}]

Passo 4

Analisando o comportamento em cada ramo (isso ajuda a localizar extremos):
  • Para x\le 4 temos h(x)=6-x. Essa é uma função afim com coeficiente angular -1, ou seja, é estritamente decrescente quando x aumenta (valores de h diminuem conforme x cresce até 4).
  • Para x\ge 4 temos h(x)=x-2. Essa é uma função afim com coeficiente angular +1, ou seja, é estritamente crescente quando x aumenta (valores de h aumentam conforme x cresce a partir de 4).
    Portanto x=4 é o “vértice” da forma em V da função h: à esquerda de 4 a função cai quando vamos à direita; à direita de 4 a função sobe quando vamos à direita.

Passo 5

Calcule o valor em x=4:
h(4)=|4-4|+2=0+2=2.
Como a função decresce até 4 vindo da esquerda e cresce a partir de 4 para a direita, o ponto x=4 é um mínimo global na reta. Como 4\in(-10,20), esse mínimo está dentro do intervalo e portanto é atingido no intervalo. Conclusão parcial: existe mínimo e ele é h(4)=2.

Passo 6

Agora procurar o máximo no intervalo aberto (-10,20). Pela monotonicidade observada, os maiores valores ocorrirão próximos às extremidades do intervalo (mais afastados de 4). Vamos calcular os valores nos pontos extremos (mesmo que os extremos não pertençam ao intervalo, servem para comparar direções):
h(-10)=|-10-4|+2=| -14 |+2=14+2=16,
h(20)=|20-4|+2=16+2=18.
Como a função é crescente para x\ge 4, os valores aumentam ao nos aproximarmos de 20 pela esquerda; como o intervalo é aberto, não podemos usar x=20, mas podemos nos aproximar de 20 por uma sequência x_n\to 20^- e obter valores h(x_n)\to 18. Do mesmo modo, à esquerda x\to -10^+ temos h(x)\to 16. Entre os dois limites, o maior é 18.

Passo 7

Interpretação: o supremo (menor majorante) de h no intervalo (-10,20) é \sup_{(-10,20)}h=18, porque os valores podem se aproximar arbitrariamente de 18 tomando x próximos de 20 pela esquerda. Mas como 20\notin(-10,20), não existe x no intervalo tal que h(x)=18. Portanto não existe máximo (valor máximo atingido) no intervalo, embora o supremo seja 18.

Passo 8

Resumindo e traduzindo para o que o enunciado pede: o mínimo existe e é atingido em x=4 com valor 2. O máximo não existe porque o maior valor possível 18 só seria atingido em x=20, que não pertence ao intervalo; dentro do intervalo só se pode aproximar 18 arbitrariamente.

Resposta

Mínimo: h_{\min}=2 em x=4
Máximo: não existe (supremo \sup_{(-10,20)}h=18, não atingido)

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