Encontre os valores máximo e mínimo das funções nos intervalos indicados, se existirem:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo da função
no intervalo
, se esses extremos existirem.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio de interesse é o intervalo aberto
(os pontos e não pertencem ao intervalo).
As perguntas são: existe mínimo? existe máximo? — e, se existirem, quais são os pontos onde ocorrem e os respectivos valores.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto: para qualquer número real
No nosso caso
sem a barra de valor absoluto, em duas expressões diferentes dependendo de
.]
Passo 3
Reescrevendo
em forma peça a peça usando o caso de
:
- Se
, então e
- Se
, então e
Resumo (peça a peça):
Passo 4
Analisando o comportamento em cada ramo (isso ajuda a localizar extremos):
- Para
temos . Essa é uma função afim com coeficiente angular , ou seja, é estritamente decrescente quando aumenta (valores de diminuem conforme cresce até ). - Para
temos . Essa é uma função afim com coeficiente angular , ou seja, é estritamente crescente quando aumenta (valores de aumentam conforme cresce a partir de ).
Portantoé o “vértice” da forma em V da função : à esquerda de a função cai quando vamos à direita; à direita de a função sobe quando vamos à direita.
Passo 5
Calcule o valor em
:
Como a função decresce até
vindo da esquerda e cresce a partir de
para a direita, o ponto
é um mínimo global na reta. Como
, esse mínimo está dentro do intervalo e portanto é atingido no intervalo. Conclusão parcial: existe mínimo e ele é
.
Passo 6
Agora procurar o máximo no intervalo aberto
. Pela monotonicidade observada, os maiores valores ocorrirão próximos às extremidades do intervalo (mais afastados de
). Vamos calcular os valores nos pontos extremos (mesmo que os extremos não pertençam ao intervalo, servem para comparar direções):
Como a função é crescente para
, os valores aumentam ao nos aproximarmos de
pela esquerda; como o intervalo é aberto, não podemos usar
, mas podemos nos aproximar de
por uma sequência
e obter valores
. Do mesmo modo, à esquerda
temos
. Entre os dois limites, o maior é
.
Passo 7
Interpretação: o supremo (menor majorante) de
no intervalo
é
, porque os valores podem se aproximar arbitrariamente de
tomando
próximos de
pela esquerda. Mas como
, não existe
no intervalo tal que
. Portanto não existe máximo (valor máximo atingido) no intervalo, embora o supremo seja
.
Passo 8
Resumindo e traduzindo para o que o enunciado pede: o mínimo existe e é atingido em
com valor
. O máximo não existe porque o maior valor possível
só seria atingido em
, que não pertence ao intervalo; dentro do intervalo só se pode aproximar
arbitrariamente.
Resposta
Mínimo:
em
Máximo: não existe (supremo , não atingido)
Máximo: não existe (supremo