Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável tal que
\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=0, \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2} .
Defina g(u, v)=f(x, y) em que x=u+v e y=u. Verifique que \frac{\partial g}{\partial u}(u, v)=0, \forall(u, v) \in \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Dado f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} diferenciável, satisfaz-se
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0,\quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Define-se g(u,v)=f(x,y) onde x=u+v e y=u.
O que o problema pede:
  • Verificar que
\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)=0,\quad \forall (u,v)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Escrevendo g explicitamente como composição fica claro o que vamos derivar:
g(u,v)=f(u+v,\;u).
Ou seja, g é a composição de f com a aplicação
(u,v)\mapsto (x(u,v),y(u,v))=(u+v,\;u).

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia, no caso de composição g(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)), diz que (mantendo v fixo ao derivar em relação a u):
\frac{\partial g}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) + \frac{\partial f}{\partial y}\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot\frac{\partial y}{\partial u}(u,v).
Explicando cada termo:
  • \frac{\partial f}{\partial x}\big(x(u,v),y(u,v)\big) é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada no ponto (x,y)=(u+v,u).
  • \frac{\partial x}{\partial u}(u,v) é a derivada da função x(u,v) em relação a u (com v fixo).
  • Análogo para o termo com \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v) em relação a u:
x(u,v)=u+v \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial u}(u,v)=1,
pois v é tratado como constante quando derivamos em relação a u.
y(u,v)=u \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial u}(u,v)=1.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia obtemos:
\frac{\partial g}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}\big(u+v,u\big)\cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}\big(u+v,u\big)\cdot 1.
Portanto
\frac{\partial g}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}\big(u+v,u\big) + \frac{\partial f}{\partial y}\big(u+v,u\big).

Passo 6

Agora usamos a hipótese do enunciado: para todo (x,y) vale \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0. Aplicando essa igualdade ao ponto (x,y)=(u+v,u) obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}\big(u+v,u\big) + \frac{\partial f}{\partial y}\big(u+v,u\big)=0.
Combinando com o que obtivemos no passo anterior segue que
\frac{\partial g}{\partial u}(u,v)=0
para todo (u,v)\in\mathbb{R}^{2}, que é exatamente o que devíamos verificar.

Passo 7

Intuição adicional (para fixar a ideia): a condição \dfrac{\partial f}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial y}=0 significa que a derivada de f na direção (1,1) é nula, ou seja, f é constante ao longo das retas paralelas a (1,-1) onde x-y é constante. Na mudança de variáveis usada, v=x-y e u é o parâmetro ao longo dessas retas, então g(u,v)=f\big(u+v,u\big) depende apenas de v — daí \partial g/\partial u=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}(u,v)=0,\\ \forall (u,v)\in\mathbb{R}^{2}.

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