Seja
uma função diferenciável tal que
Defina
em que
e
. Verifique que
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma verificação:
- Dado
diferenciável, satisfaz-se
- Define-se
onde e .
O que o problema pede:
- Verificar que
Passo 2
Escrevendo
explicitamente como composição fica claro o que vamos derivar:
Ou seja,
é a composição de
com a aplicação
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia, no caso de composição
, diz que (mantendo
fixo ao derivar em relação a
):
Explicando cada termo:
-
é a derivada parcial de em relação a , avaliada no ponto . -
é a derivada da função em relação a (com fixo). - Análogo para o termo com
.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de
e
em relação a
:
pois
é tratado como constante quando derivamos em relação a
.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia obtemos:
Portanto
Passo 6
Agora usamos a hipótese do enunciado: para todo
vale
. Aplicando essa igualdade ao ponto
obtemos
Combinando com o que obtivemos no passo anterior segue que
para todo
, que é exatamente o que devíamos verificar.
Passo 7
Intuição adicional (para fixar a ideia): a condição
significa que a derivada de
na direção
é nula, ou seja,
é constante ao longo das retas paralelas a
onde
é constante. Na mudança de variáveis usada,
e
é o parâmetro ao longo dessas retas, então
depende apenas de
— daí
.