Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f nos intervalos dados:
f(x)=e^{x^{3}-x}, em [-1,1]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x)=e^{x^3 - x}
no intervalo fechado [-1,1]. Como se trata de uma função contínua num intervalo compacto, os candidatos são os pontos críticos (onde f'(x)=0) e os extremos do intervalo. Vamos usar derivada, encontrar esses pontos e comparar os valores de f.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra da cadeia para a exponencial:
f'(x) = e^{x^3 - x}\cdot \frac{d}{dx}(x^3 - x) = e^{x^3 - x}\,(3x^2 - 1).
Como e^{x^3 - x}>0 sempre, igualar f'(x)=0
3x^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Agora avaliamos f nos extremos do intervalo:
f(-1) = e^{(-1)^3 - (-1)} = e^{ -1 + 1 } = e^0 = 1,
f(1) = e^{1^3 - 1} = e^{1 - 1} = e^0 = 1.

Passo 4

Avaliamos f nos pontos críticos:
Para x = \tfrac{1}{\sqrt{3}}:
x^3 - x = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{9},
f\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \exp\Bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\Bigr).
Para x = -\tfrac{1}{\sqrt{3}}:
x^3 - x = -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9},
f\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \exp\Bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\Bigr).

Passo 5

Comparamos os quatro valores:
\exp\Bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\Bigr) > 1 > \exp\Bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\Bigr).
Logo o valor máximo absoluto é
\max f = f\!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \exp\Bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\Bigr),
e o mínimo absoluto é
\min f = f\!\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \exp\Bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\Bigr).

Resposta

O máximo absoluto ocorre em x=-\tfrac{1}{\sqrt{3}} com
f_{\max} = \exp\!\bigl(\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\bigr),
e o mínimo absoluto ocorre em x=\tfrac{1}{\sqrt{3}} com
f_{\min} = \exp\!\bigl(-\tfrac{2\sqrt{3}}{9}\bigr).

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