Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f nos intervalos dados:
f(x)=x^{3}+x^{2}+x, em [-10,10]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x)=x^{3}+x^{2}+x no intervalo [-10,10]. Para isso vamos usar cálculo diferencial: encontramos a derivada para ver pontos críticos e depois comparamos os valores de f nos pontos críticos e nas extremidades do domínio.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=3x^{2}+2x+1.
Para achar pontos críticos, resolveríamos f'(x)=0. O discriminante é
\Delta = 2^{2} - 4\cdot 3\cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0,
logo não há raízes reais e não há pontos críticos em \mathbb{R}.

Passo 3

Como f'(x)=3x^{2}+2x+1 é sempre positiva, concluímos que f é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. Portanto, no intervalo [-10,10] o valor mínimo de f ocorre em x=-10 e o valor máximo em x=10.

Passo 4

Avaliamo-os f nos extremos do intervalo:
f(-10)=(-10)^{3}+(-10)^{2}+(-10)=-1000+100-10=-910,
f(10)=10^{3}+10^{2}+10=1000+100+10=1110.

Resposta

Mínimo absoluto: f(-10)=-910.
Máximo absoluto: f(10)=1110.

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