Questão 18. Pode existir uma função f tal que f(0)=-1, f(2)=4 e f^{\prime}(x) \geq 2 para todo x ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma função f que satisfaça
f(0)=-1,\quad f(2)=4
e ao mesmo tempo
f'(x)\ge 2\quad\text{para todo }x.
O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (ligação entre derivada e integral) e o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Se f'(x)\ge 2 para todo x, então integrando de 0 a 2 obtemos
f(2)-f(0)=\int_{0}^{2}f'(x)\,dx\ge \int_{0}^{2}2\,dx = 4.
Logo a condição f'(x)\ge2 implica
f(2)-f(0)\ge4.

Passo 3

No problema temos
f(2)-f(0)=4 -(-1)=5,
e de fato 5\ge4. Portanto não há contradição com f'(x)\ge2.

Passo 4

Para ilustrar, podemos escolher uma função linear cuja derivada seja constante e maior que 2. Basta tomar
f(x)=\frac{5}{2}x -1.
Então
f'(x)=\frac{5}{2}\ge2,\quad f(0)=-1,\quad f(2)=\frac{5}{2}\cdot2-1=5-1=4.

Resposta

Sim. Por exemplo,
f(x)=\frac{5}{2}x -1
satisfaz todas as condições.

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